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et si maintenant on suppose u — x, v=r , ce qui est le moyen le plus 

 simple de revenir aux anciennes variables , on a 



dcc dx dy ^ ^ -' ^ __ - 



dZ ^ ^' dli " ^r du — ^' dv — '^' du ~ ^ ' dv "■'' 



ce qui réduit la valeur de cTz' à 

 On trouvera de même 



d^z _, d^x _^ d^y 



d X dx ' d X 



dH , djx djy 



d Y dy ' dy 



(làz , aàx 



On parviendrait au même résultat, sans faire u=x et v^y , en trans- 

 formant les différences partielles de S'x, ^y, d'z, qui entrent dans 

 l'expression de é'z' ; en effet on a 



d^z __ dê'z dx djz_ dy_ d^ __ di z dx dj_z dy _ 



du "^ dx' dû "^ dy ' du' dv dx' dv "*" dy' dv ' 



d^y _ dêy^ dx^ d^y dy d^y _ d^y dx d^y dy ^ 



du dx' Tu "^ dy' du ' dv dx' dv """ dy ' dv i 



dê'x d^x dx d^x dy di^x d^x dx d^x dy 



du dx ' du' dy ' du ' dp dx ' d v dy ' dv' 



et si l'on substitue ces valeurs dans celle de ^z , on verra qu'elle se 

 réduit identiquement à la forme que irous avons trouvée. 



Quand les variations de z' et z^ sont trouvées , il est facile d'en 

 conclure celles des différences partielles des ordres supérieurs. En effet 

 ces valeurs donnent d'abord 



dans ces équations, z étant une fonction quelconque de x eiy, on y 

 peut mettre successivement z , z^ , z" , z\, etc. , à la place de z : 

 mettant, par exemple, z^ à la place de z, dans la première équation, 

 il vient ^ 



dx 



et à cause de la seconde équation , celle-ci est la même chose que 



riz,-~z^dx-z„dy- ~~ , 



d'où l'on tirera la valeur de Sz\. Cet exemple suffit pour montrer 

 comment on déterminera les variations de toutes les différences par- 



