^85) =^= 



tielles ôe z, en partant de celle de z' et z^ ; et généralement , il est aisé 1 o 1 6. 



de voir que m et n étant des indices quelconques, on aura 



. , d""^"(^z-z' J'x-z, J'j) , , , 



J^. '" = i^: '-^+z^"'+:^^.+ z,^'"^ ^^y. 



. (") dx"' d/ ^"^ ■ (" + •) 



Substituant les variations de ces différences partielles dans la valeur 

 de ^Y , et faisant, pour abréger, 



on pourra l'écrire ainsi : 



-f — - — + etc., 



r „ ( '" ) *" " 



m , ra 



dz) ' dx dy 



les notations (-r-) et ('■y-j exprimant les différences parlielles de V, 



prises en faisant varier tout ce qui est fonction soit de x soit de y. 



Il ne reste plus qu'à trouver la variation du "pfoduit dx dj. Or, 

 pour les règles de la transformation des intégrales doubles , on sait 

 que quand on change les variables x etj en d'autres u et v, on doit 

 prendre 



dxdj^dudv ('-^'/ -'l;^'-l\; 

 •^ \du d V dv du J ^ 



on aura donc 



cT {dx dy) = rf„ Ji, f^ ^" V - ^ - ^ — - -- — ^V 



\d V du du d V du dv dv d u J' 



et eu faisant, comme plus haut, u=^x, v=y ■> on en conclut 



résultat que l'on obtiendrait également en transformant les différences 

 partielles de x et de y; car on aurait de cette manière 



Maintenant si l'on met dans J'jy Y dx dy , pour S'Y et o Çdx dy), 

 leurs valeurs, on aura 



