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4°. Une ligne à double courbure étant l'intersection de deux sur- 1 û 1 0. 



faces , on peut la considérer comme appartenante aux deux surfaces 

 réglées , lieux des normales aux surfaces proposées , qu'on mènerait 

 par tons les points de la courbe à double courbure ; si par un point 

 quelconque de cette courbe, on mène un plan qui lui soit perpendi- 

 culaire eu ce point, ou plutôt perpendiculaire à sa tangente, ce plan 

 touchera les deux surfaces réglées en deux points, remarquables par 

 cette propriété, que leurs projections sur un plan quelconque passant 

 par la tangente à la courbe à double courbure, sont les centres de 

 courbure des deux sections faites par ce plan sur les surfaces proposées. 

 Menant par le point de la courbe à double courbure que l'on considère 

 lui plan perpendiculaire à la droite qui joint les deux points de contact 

 des surfaces réglées et du plan normal à cette courbe, ce plan perpen- 

 diculaire sera le plan osculateur de la courbe, et il coupera la droite, 

 à laquelle il est perpendiculaire, en un point, qui sera le centre du 

 cercle osculateur. 



Il suit évidemment de la troisième proposition, que les cercles oscu- 

 lateurs de toutes les sections d'une surface, doni les plans passent par 

 une même tangente, appartiennent à une sphère, proposition démon- 

 trée par Meusnier ; et ce qui n'est pas moins évident, toutes les sec- 

 tious dont les plans font avec une normale à la surface le même angle, 

 ont un môme rayon de courbure. 



Ayant construit graphiquement les rayons de courbure de trois 

 sections quelconques, passant par une même normale d'une surface, 

 M. Hachette fait observer qu'on en déduirait facilement les rayons de 

 courbure et les plans osculateurs des lignes de courbure, dont Monge 

 a le premier donné les équations. En effet on calculerait ces rayons de 

 courbure, maximum et minimum^ au moyen de la formule d'Euler : 



■ — = -5- sm* A -f — cos2 A. 

 p il T 



R et r ëtant les rayons de courbure de la surface , et f le rayon de 

 courbure d'une section normale , dont le plan fait, avec le plan oscu- 

 lateur de la ligne de courbure, l'angle A. ( Voyez la Correspondance 

 sur l'Ecole polytechnique , tome III, page i34 )• 



L'application de ces propositions est de la plus haute importance 

 dans les arts graphiques ; elle donne la mesure de la quantité de cour- 

 bure des lignes et des surfaces, dont on n'a déterminé jusqu'à présent 

 qiie la direction, par les tangentes et les plans tangens. 



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