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Sur une propriété des équations générales du mouvement ; par 



M. Poisson. 



1816. 



Cette propriété est comprise dans la formule que Lagrange donne Mathématiq-cis. 



à la page 329 delà Mécanique analytique( seconde édition), et dont 



il a fait la base de sa théorie de la variation des constantes arbitraires. Société pLilomat. 

 Les quantités qui entrent dans cette formule sont les variables rcla- — jj ^gjg 



tives â chaque système de mobiles, réduites au moindre nombre pos- 

 sible, et indépendantes entre elles : cette réduction peut être quel- 

 quefois très-difEcile à effectuer; mais heureusement elle n'est pas indis- 

 pensable , et nous allons prouver qu'une équation semblable à celle 

 de Lagrange a également lieu, en conservant des variables quelconques, 

 telles que, par exemple, les coordonnées rectangulaires des points du 

 système. 



Soit donc m, la masse d'un de ces points; x ^ y^ z, ses trois 

 coordonnées; V, l'intégrale de la somme de toutes les forces motrices 

 du système, multipliées chacune par l'élément de sa direction; L = o, 

 M = o, etc., les équations de condition du système que l'on consi- 

 dère : les trois équations du mouvement du point m seront 



d'x , dN dl. dU 



a t^ dx dx dx ' 



dW , dY dL, dM 



m -— : -f-— =A— -+^— - + etc., 

 dt' dy dy '^ dy ' 



d'z , dY dL dk 



W-— +-— = A-— +/t-T- + etc.: 

 dr dz dz dz ' 



et il y en aura trois semblables pour chacun des autres mobiles. Les 

 co-efîiciens A, /*, etc., sont des inconnues qui resteront les mêmes 

 dans les équations des autres points, c'est-à-dire, que les différences 

 partielles de L seront par-tout multipliées par le même co-efîicient h, 

 celles de M par /* , etc. 



Si l'on intègre toutes ces équations, on poun-a exprimer les co- 

 ordonnées des mobiles en fonctions du temps / et d'un certain nombre 

 de constantes arbitraires; leurs valeurs substituées dans ces mêmes 

 équations, et dans L = o, M = o, etc., auront la propriété de les 

 rendre identiques; on peut donc difFérentier chaque équation en v 

 conbidérant les variables comme des fonctions implicites des constantes 

 arbitraires de l'intégration. Ainsi, en désignant, comme M. La"ranoe 

 par cT une différentielle relative à une portion quelconque de ces. 

 constantes, et par A une seconde difTérentielle de la même nature oa 



aura 



