( III ) 



Four prouver que cefte somme est nulle, soit u une co- ordonnée l o 1 6. 



de l'un des mobiles; S -7— renfermera le terme -; — -r- ^ u, et A -p , 



•' dx du dx dx' 



d' L , -11 '^' L 



le terme A u; donc cette somme contiendra le terme 



du dx du dx 



(J'uAx — J'xAu), et comme elle est symétrique par rapport à 



' . . d' L 



toutes les variables, elle contiendra aussi le terme - — — (J^xA u 



' du dx ^ 



— S'uAx, égal et contraire au précédent; c'est-à-dire, qu'elle se 

 décomposera en termes deux à deux égaux et de signes contraires, 

 et qu'()lle se réduira à zéro. 



Le même raisonnement s'applique à la partie de notre équation qui 



Q ce d "Y 



renferme la fonction Vj par conséquent si l'on fait ^ =x',-jj ^^ J 1 



dz , . , . , 



-y- = z' , cette équation se réduira à 



2ot ( Ax<P cTxA-— + Ay J" -^ 



\ dt dt -^ dt 



— cTrA-f- + AzS" cTzA )=o; 



■^ dt dt dt .' 



son premier membre est une différentielle exacte par rapport à t ; 

 car on a 



A X iP — — == — ^ — — A X ci^X, 



d t dt ' 



J^xa'4^'^'^''^'^ ^J^x'Ax'; 



dt d t ' 



d'où il suit 



^dx^ r, . dx' d{&x^x' — ^x Ax') 



A X <P —- — iP X A — — = ~ ; • ; 



dt dt d t ■ 



et de même pour les termes en y et en z. Multipliant donc par dt , 

 et intégrant, on aura 



2 m {Ax S'x' — ^x AyL + Aj J'y 



— cTj A/ -f- Az Jz' — Jz Az') = const. 

 Cette équation renferme le résultat auquel nous voulions parvenir, 

 et qui peut remplacer, avec avantage, la formule citée au commeii- 

 jcement de cet article. 



P. 



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