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 eonsidère , et n le nombre entier donné. Soient dé plu3 a' et h' les 

 plus grandes valeurs entières que l'on puisse attribuer aLix variables j: 

 etj- dans l'équation indéterminée (i) bx — ay ^= r 



en supposant toutefois V < x. La fraction — élant irréductible par 



hypothèse, et la valeur de b' vérifiant l'équation ha — ab' = i, 

 b et b' seront nécessairement premiers entre eux, et l'on aura de plus 



a' a r 



LaJraction -, jouira donc, relativement à la fraction •— , des propriétés 



tînoneées par le théorème, et pour établir ce même théorème il 

 suffira de prouver que, parmi toutes les fractions irréductibles dont le 



dénominateur n'excède pas n , celle qui surpasse immédiatement — 



est précisément -,-, On y parvient de la manière suivante. 



Les diverses valeurs de ^- qui résolvent l'équation (t) forment la 

 progression arithmétique .... 6 — ib , V — b, b' , h' -\-b, h' ■\- ih. . . . 

 et puisque b' est la plus grande de cris valeurs qui soit comprise dans n, 

 on a nécessairement n <, b' -\- b. 



Soit maintenant — une fraction irréductible et plus grande que -- 



prise parmi celles dont le dénominateur n'excède pas n. Si l'on fait, 

 pour abréger, (2} bf — a g = m, 



f a m 



on aura — — — = — . 



g b bg 



Ainsi la difierence des fractions — , — sera généralement exprimée 



par — ^; et , si on donne à m une valeur constante en laissant varier 



g, cette différence aura la plus petite valeur possible, lorsque g 

 aura la plus grande valeur passible. D'ailleurs les diverses valeurs de ^ 

 qui satisfont à l'équation (2) sont évidemment comprises dans la 

 p,rogression arithmétique 



mb' — -îb, mh' — b, mh' , mh' + h , mb' + ib ..... . 



dont le terme mb' + b, égal ou supérieur à 6' -\- b, est par suite 

 supérieur à 72 .• et, comme^ ne doit pas excéder n, il est clair qu'il. 



sera tout au plus égal! au, terme, mb' ; d'oii il suit que là fraction 



m' 



m. 1 



lie pourra devenir inférieure a . , — , ,,. 



mb b 



Donc ; parmi toutes lès fractious supérieures à -j-, et'dont ledénonri- 



