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 une courbe sous le même angle , il est visible que ces deux lignes ss 

 couperont au-dedans de la courbe et que leur point d'intersection va- 

 riera de position suivant l'angle que les droites formeront avec celte 

 courbe. Le lieu de tous ces points d'intersection est un cercle construit 

 sur le rajon osculateur comme diamètre. 



Ce cercle qui a le rayon de courbure pour diamètre , jouit de cette 



f)ropriélé remarquable , qu'en le coupant par une droite parallèle à 

 a tangente on détermine deux points qui sont les foyers d'une ellipse , 

 laquelle a au sommet de son petit axe un contact du second ordre 

 avec la courbe. Parmi toutes ces ellipses qui sont en nombre infini , se 

 trouve le cercle osculateur ; c'est le cas oii la droite sécante touche le 

 cercle des foyers au lieu de le couper. 



Les courbes planes ont , outre des déveîoppoïdes planes , des déve- 

 loppoïdes à double courbure , et les courbes ti-acées sur des surfaces 

 n'ont que des déveîoppoïdes , comme elles à double courbure. Dans l'un 

 et l'autre cas , les déveîoppoïdes à double courbure sont en nombre 

 infini du second ordre. Les déveîoppoïdes de même espèce , c'est-à- 

 dire , celles dont les tangentes rencontrent la trajectoire sous un même 

 angle , sont toutes sur une même surface courbe dont voici la gé- 

 nération. 



Que l'on imagine en un point quelconque de la trajectoire plane ou 

 à double courbure j un cône droit , circulaire , dont le sommet , soit 

 placé sur le point de la trajectoire et dont l'axe soit la tangente de 

 cette courbe ; que l'on se représente ce cône conservant une ouverture 

 constante et se mouvant le long de la trajectoire , de manière que 

 son sommet reste constamment sur la courbe, et que son axe soit per- 

 pétuellement tangent à cette courbe ; la surface qui enveloppera l'espace 

 parcouru par ce cône , sera le lieu géométrique de toutes les déveîop- 

 poïdes de même espèce. 



Celte surface sera rencontrée quelque part en un point par la tra- 

 jectoire ; si, par ce point de rencontre, on tend sur la sui'face un nombre 

 infini de fils , de manière qu'ils y soient en équilibre , ils seront tous 

 les déveîoppoïdes de même espèce , de la trajectoire proposée ; car on 

 démontre que les déveîoppoïdes sont sur la surface qui les embrasse- 

 toutes , des courbes de plus courte distance entre deux points donnés. 



Lorsque la trajectoire est plane , les équations des déveîoppoïdes 

 sont sous forme intégrale , ou du moins leur intégration ne dépend 

 que de celle d'une exponentielle. Mais lorsque la trajectoire est à double 

 com'bure , il n'y a qu'une des équations des déveîoppoïdes qui soit en 

 termes finis , et nous présentons l'autre sous la forme ditïérentielle. Les 

 diverses formules que nous donnons à ce isujet, renferment une certaine 

 constante arbitraire qui exprime l'angle que l'apothème du cône géné- 

 rateur de la surface des déveîoppoïdes , fait avec son axe, c'est-à-dire y» 



