Avee la làngente de la trajectoire. Si l'on suppose cet augic égal à qo 

 degrés j auquel cas le cône devient un plan normal à la trajectoire, 

 on retrouve les formules (jue M. Monge a données et par lesquelles 

 ii a le premier fait connoitre les belles propriétés des développées à 

 double courbure. 



L'examen des développoïdes planes nous a ^conduits à considérer les 

 ellipses osculatiices à une courbe et qui sont dans le plan de cettg 

 _courbe. L'examen des développoïdes à double coui-bure nqus conduit 

 de même à considérer les ellipses osculairices qui sont hors du plam 

 delà courbe j si c'est une courbe plane, et hors du plan osculateurj 

 si c'est une courbe à doubla coui;bure. Mais il faut iivaut tout expose^' 

 ce que nous entendons par le contact entre deux courbes cpii ont bien 

 une tangente commune, mais qui ne sont pas comprises dans le même 

 plan. Plusieurs géomètres en ncjmmant rayon de courbure absolu ou 

 minimum , le rayon osculateur d'une courbe à doublé courbure ont appelé 

 les rajons des diverses développées , rayons de courbure relatifs , parce 

 qu'en effet chacun de, ces rayons , considéré dans soa plan, est' celui 

 du cercle qui , parmi tous ceux que l'on pourroit tracer dans ce même 

 plan, a le contact le plus intime avec la courbe. Nous adoptons cette 

 manière d'envisager le contact entre le; courbes. Cela posé, il existe 

 pour chaque point d'une courbe , une certaine surface telle qu'en la 

 traversant par une droite parallèle à la tangente , cette droite est coupée eti 

 deux points qui sont les foyers d'une ellipse , laquelle a au sommet 

 de son petit axe un contact du second ordre avec la courbe. 



Voici quelle est la génération de cette surface ; imaginons , à l'extré- 

 mité du rayon de courbure , une droite perpendiculaire au plan oscu- 

 lateur , ou au plan de la courbe , si c'est une courbe plane ; concevoris 

 une suite de plans passant par la tangente , ils iront tous couper la 

 droite chacun en un point ; joignons ces points avec le point de la 

 courbe par des droites; dans chaque plan , et sur ces droites comme 

 diamètres , décrivons des cercles ; la surface qui passera par tous ces 

 cercles sera celle dont il s'agit. 



Tandis que les foyers des ellipses osculatrlces sont distribués sur 

 ^cette surface , les sommets des mêmes ellipses sont situés sur une autne 

 surface d'une génération également simple; en sorte que si pour un poiijt 

 d'une courbe quelconque on considère à la fois ces deux surfaces , et 

 .qu'on les traverse par une même droite parallèle à la tangente ; cette 

 droite sera coupée en quatre points qui seront les foyers et les sommets 

 d'une ellipse qui aura au sommet de son petit axe un contact dw 

 second ordre avec la courbe . irce.rt'cpntaet étaût toujomîs j^ieJatif au pi^ 

 dans lequel l'ellipse se trouvera située. 



