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 conque àe x , si l'on considère la quantité • = qui est 



évidemment une fonction de x et de A , et qu'on suppose que l'on 

 y substitue à h des valeurs de plus en plus petites , les valeurs corres- 

 pondantes de cette fonction ne pourront , si ce n'est pour des valeurs 

 particulières et isolées de se , aller en diminuant ou en augmentant , 

 de manière à devenir plus petites ou plus grandes que toute grandeur 

 donnée ; mais tendront en général vers une limite détei'minée , que l'on 

 devra considérer comme la valeur que prend cette quantité lorsqu'on 

 fait h = o , et qu'elle se présente sous la forme indéterminée |. Cette 

 valeur sera nécessairement une fonction de ce , puisque celle de 



f(x-^h) — f(x) . . 1 j j 7 



■ 7 '■ — —5 ne dépendant en gênerai que de x et de h , ne 



peut plus dépendre que de x quand on y détermine h en faisant h = o. 

 C'est , comme on sait , cette fonction qu'on nomme fonction dérivée » 

 ou coefficient difïéreuciel du premier ordre de la fonction désignée 



par/(ar). 



Pour démontrer ce théorème , M. Binet examine les conséquences 

 qui résulteroieut de la supposition que la fonction de oc et de h qui est 



/Y _^ _J_ ^ "s / (ce) 



égale à 7 = — 5 pût approcher indéfiniment de o ou de f , 



en y supposant h de plus en plus petit pour toutes les valeurs de et 

 comprises dans un certain intervalle , depuis ce = a , par exemple i. 

 jusqu'à :r = a -h è , et arrivant dans cette hypothèse à un résultat con- 

 tradictoire , quelque petit que soit b , il en déduit cette conséquence 

 nécessaire, que dans le cas oii cela arriveroitj ce ne pourrait être que 

 pour des valeurs particulières et isolées de a; , ainsi que le porte l'énoncé 

 du théorème. 



En effet , l'on peut toujours prendre h assez petit pour que la 

 fonction /{x) soit toujours croissante ou toujours décroissante depuis 



,7.11 1 J /(^-H-^O — /(^). 

 a;=ajusqua ce = a ■+■ b , et alors les valeurs de ■ ■ ■ ■ — — 



comprises dans cet intervalle seront toutes de même signe que . » . . . 



f(a-h b) — f{a) . . . , ,.^ ^ . , . 



■JJ^ J ■■ J qui est positive quand/(jî) est croisssante, et négative 



/7cc -h h) /'(ce) 



dans le cas contraire. Si d<Jnc la quantité '—: j- — •^ ■.. ^ pouvoit , 



pour toutes les valeurs de x comprises entre ce = a et ce = a -\- b , 

 et en donnant à h une valeur assez petite , devenir moindre ou plus 

 grande que toute grandeur donnée , on pourroit , dans le premier cas , 

 prendre h assez petit pour que l'on eût constamment dans cet intervalle 



