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 MATHÉMATIQUES. 



Mémoire sur la théorie générale de la variation des cons^ 

 tantes arbitraires dans tous les problèmes de la mécanique y 

 par M, Lagrange. 



Institut Nat. Nous avons déjà annoncé ce Mémoire dans le K». d'avril dernier j 

 iSMars 1809. mais depuis celte époque, l'auleur a douué successivement deux sup- 

 plémens dnus lesquels il réduil son analyse à une grande simplicilé ^ 

 sans lui rien faire perdre de sa généralité. En profilant de celte heu- 

 reuse simplification , il nous sera facile maintenant de faire connoître 

 en entier la belle analyse de M. Lagrange , et de démontrer le théqrême 

 général que nous avons seulement énoncé dans notre premier article 

 (]N°. 10 de ce Bulletin). 



Lorsque l'on considère le mouvement d'un système de corps , la 

 position de chacun d'eux est <léterminée , à chaque instant , par trois 

 coordonnées qui sont des fonctions du tems , et le problème consiste 

 à déterminer ces fonctions. En général , ces variables sont liées entre 

 elles par une ou plusieurs équations de condition , données par la 

 nature du système ; de sorte qu'il ne reste qu'un nombre de variables 

 indépendantes , égal au nombre total des variables , ou à trois fois 

 le nombre de corps , moins le nombre de ces équations. Désignons 

 par r, s, u, etc., les variables indépendantes , que nous supposerons 

 en nombre quelconque, et par r' , s' , u' , etc., les coefficiens dif- 



, , dr ds du . , „ ,, , , , 



férenliels — ? — r- — r-' etc. , dt étant I élément du tems. Au moyen 

 ut dt dt "' 



de ces quantités on pourra toujours exprimer les coordonnées des corps 



et leurs différentielles premières, par conséquent , toute fonction des 



coordonnées pourra être censée ime fonction de /-j .î, «, etc. , et toute 



fonction qui renfermera en outre les vitesses des corps , parallèles aux 



axes des coordonnées , pourra être transformée en une fonction de 



r, s, Uy etc., r', s', u' , etc. Si donc nous représentons par 



m, m' j m'', etc. , les niasses des corps j par x, j, z , les trois 



coordonnées rectangulaires de m ; par a:' , j' , z' , celles de m' , etc. j 



et par T , la demi - somme des forces vives de tous ces corps , de 



manière qu'on ait : 





