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qu'il avoit donnée dans les Mémoires de l'Académie de 1779, 11 observe 

 que dans le cas où 



a^ = 4 ^ j 



la même méthode d'inlégrat-'on ne peut plus être employée , mais 



qu^alors on peut ramener Finlégration de l'équation proposée à la 



suivante : 



d-u du 



1 



0115==/, etcc- 



ds^ dx' 



h 



I — , 



k--^ 



0'-¥) 



sont prises pour les deux variables indépendantes , et où u est une 

 fonction dont dépend Ja valeur de 3. Cette équation 



d'u du 



ds^ dx' 



est remarquable en ce que son intégrale completté ne contient qu'une 

 seule fonction arbitraire j ainsi que l'a reconnu et démontré M. Poisson j 

 dans le i3«. cahier du Jouroal de l'Ecole Polytechnique. Il avoit montré 

 que l'intégrale , qu'on ne peut obtenir sous forme finie , étoit sus- 

 ceptible de deux développemens , l'un suivant les puissances de œ' , 

 avec une seule fonction arbitraire , l'autre suivant celle de s , avec 

 deux fonctions arbitraires qui se réduisoient à une seule. M. de Laplace 

 donne l'intégration de la même équation à l'aide d'une intégrale dé- 

 finie , et fait voir que dans l'intégrale en série qui coniieui en appa- 

 rence deux fonctions arbitraires , les termes où entre l'une* d'elles sont 

 donnés par ceux de la fonction arbitraire de l'intégrale définie où il 

 n'y a que des puissances paires de la quantité dont elle est formée , 

 et les termes où entre l'autre par ceux de la même fonction où il n'y 

 a que des puissances impaires de la même quantité , en sorte qu'en 

 réunissant ces deux sortes de termes , on ne fait que réunir tous ceux 

 d'une fonction arbitraire unique. 



Le troisième article a pour objet le passage réciproque des résultats 

 réels aux résultats imaginaires. L'auteur , après quelques considérations 



générales , en déduit des valeurs remarquables pour les intégrales de 



/*dûc COS. oc p dx s in. x 

 la forme f — , f -— — , prises entre diverses limites , 



