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année 1782, page îi)j et pour réunir sous un même point de vue ce 

 qu'on a trouvé de plus général jusqu'à présent sur les intégrales définies, 

 nous commencerons par nous occuper de celles qui renferment des 

 exponentielles. 



Considérons llntégraie f e~^ .xP~^.dx, prise depuis a; = jusqu'à 



I 



3c =2 — '•) e étant la base des logarithmes hyperboliques, n et p des 



o 



nombres entiers et positifs. Nous les supposons positifs , pour que la 



n 



fonction e"~^ . oc^~^ ne devienne jamais infinie dans les limites de 

 l'intégrale , et entiers , parce que s'ils étaient fractionnaires, on pourrait 

 faire disparaître leurs dénominateurs par une transfoi'mation très-simple. 

 Comme nous avons pour objet de comparer entre elles les valeurs de 

 cette transcendante qui répondent à un même exposant n et à différentes 

 valeurs de p , nous la regarderons comme une fonction de /? ^ et nous 

 la désignerons par t^p , de sorte que nous aurons 



P 



n 



""^ . ocP~\.dx = Cfp 



En intégrant par parties , il vient 



/n T , n n /^ " 



X. 



P^''-\dx; 



I 



aux deux limites .2? = o et oc=z — 5 le terme e ^ .oa^ s'évanouit ; on 



o , 



a donc , en passant aux intégrales définies , 



n 



afp= — .4.(;? + 7z)j 



P 

 ftquation qui montre que la valeur de <$(y»+n) se déduit immédia- 

 tement de celle de (^p ; d'où l'on peut conclure que si l'exposant p sur- 

 passe n , on pourra le ramener successivement à p — n , p — 2n , 

 p — on, etc. , jusqu'à p — in , i étant le plus grand multiple de n qui 

 soit compris dans p. Ainsi , il sera inutile de considérer des valeurs de 

 p plus grandes que n , et le nombre des transcendantes réellement dis- 

 tinctes , comprises dans 41;? et résultant de toutes les valeurs qu'on peut 

 donnsi' h. p , est simplement égal à n. Quand on suppose p =7z, on a 



f 



n I '* 



e^- .ce"-' ' 



■x ~n-i^d^ — — . e-^ 



n 



