<^ f — \ = / e~^ . ce " . djc / 



n 



faisant donc x ^ =■ t , il viendra 



ei l'intégrale sera toujours prise depuis t =. o jusqu'à t = — ; égalant 



ces deux valeurs de 4) f — j , et suppfimant le diviseur commun 72 , 

 il vient 



fe-'\dt = — .\/7; 



résultat remarquable par sa simplicité , et auquel Euler est le premier 

 parvenu. 



Maintenant , considérons les intégrales des formules qui renferment 

 des cosinus ou des sinus , et soit 



f x^~' . cos . (a -\~ x") . dx = -i^p , 

 a étant une constante quelconque , n et p des nombres entiers et posi- 

 tifs , et l'intégrale étant prise depuis x :z: o jusqu'à x = Multiplions 



celte équation par celle-ci , 



fe-^^.r'^-^-\dj=.^{n—p). 



nous aurons 



(f{n — p) .-^p^. j e->'"'j'"~P~' 'dj ■ f a:?-'. cos (a-j- x"). dx 



= /T* e-^V~'""''^^~''W {a-\-x^).djdx. 



Substituons , comme précédemment , une nouvelle variable z à la place 

 de J- , et faisons j^ ^ 0:3 , et, par conséquent, àj=.xdz, cette dernière 

 équation deviendra 



<p{n — p).-\p^/ / e"^ " . z"'~P~^ .x'^~' .cos (a ■+-x").dzdx. 



Dans celle intégrale double , nous commencerons par celle qui est 

 relative à x ; or , en intégrant par parties ," il vient 



/e-'?"=" . x"-' .cos (a -f •^'') • ^^ = e-'"'" . sin (a-j- a:") 



^ z" . A'e-^"=" . x"-' . sin (a + x") , d.v , 



