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«f urne ; et qu'ensuite on mette dans une urne la boule extraite de 

 « J'autre. Supposons que l'on répète cette opération , un nombre quel- 

 « conque r de fois , eu agitant à chaque fois les urnes pour eu bien 

 K mêler les boules ; et cherchons la probabilité qu'après ce nombre r 

 « d'opérations , il y aura x boules blanches dans l'urne ^. » 



Celte probabilité est une fonction de cç et de r. M. Laplace trouve 

 par une discussion délicate de toutes les chances que le résultat pré- 

 sente, qu'elle dépend d'une équation du second ordre , aux différences 

 finies partielles , qui se change en une équation aux différences 

 partielles infiniment petites , quand le nombre a, est supposé très- 

 grand. Ces équations sont du genre de celles qui ne comprennent 

 qu'une seule fonction arbitraire dans leur intégrale completie, quoique 

 réellement elles soient des équations du second ordre. L'auteur se borne 

 à considérer le cas de jc très-grand , c'est-à-dire , l'équation aux diflt- 

 rences partielles infiniment petites ; et il observe qne ce problème offre le 

 premier exemple de l'emploi de ce genre d'équations dans le calcul des 

 probabilités. 11 donne , sous forme finie , au moyen d'une intégrale 

 définie , l'intégrale complette de cette équation ; il reste ensuite à dé- 

 terminer la fonction arbitraire qu'elle contient , d'après l'état initial 

 des deux urnes supposé connu ; ce qui exige un développement remar- 

 quable de l'intégrale , et des détails d'analyse qu'il nous est impossible 

 d'indiquer dans cet extrait. 



Le dernier problème résolu dans ce Mémoire , est relatif au milieu 

 qu'il faut choisir entre les résultats des observations. On conçoit toute 

 rimportance de cette question , sur-tout pour les calculs des observa- 

 tions astronomiques. Elle est résolue ici, pour la première fois, d'une 

 manière directe et générale , et en supposant seulement que le nom- 

 bre des observations soit très-grand. La méthode ordinaire consiste à 

 prendre pour résultat moyen , celui qui rend nulle la somme des 

 erreurs des observations. M. Laplace a déterminé , dans un de ses pré- 

 cédens mémoires , la probabilité de ce résultat , quelle que soit 

 d'ailleurs la loi de facilité des erreurs ( i ) ; mais dans celui-ci , il 

 considère la question sous un point de vue plus général. Il égale à 

 zéro la somme des ei'reurs multipliées par des constantes indéterminées; 

 puis il détermine ces constantes, de manière que l'erreur du résultat trouvé 

 par ce moyen , soit la plus petite qu'il est possible. L'auteur est con- 

 duit , par son analyse , au résultat qui serait donné par la méthode 

 des moindres carrés des erreurs , méthode déjà employée par plusieurs 

 géomètres , mais dont l'avantage n'avait point encore été bien dé- 

 montré. Maintenant il est prouvé que cette méthode est celle 



(i) On a rendu compte de ce Mémoire dans le n". 33 de ce Bulletin, 



