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M. Lagraûge est parti dans un Mémoire sur le mouvement de rotatioâ 

 des corps (Académie de Berlin , 1775 )• 



Ces deux formules sont du même genre que la suivante ' 



( MX y "z"— ux'z"y"+uyz"x"' — uj x"z"' +uz' x"y" — uz'y'x"'+xyuz'" — xyV«"'+ xzyu'—x-Juy"-k-xùz'y" — xiîy'z" \ 

 ^\jr yziC'x'" — y^ x" u" -Vyù x" z" — yii z" x'" -\-yx' z"u" —yx'u"z"'-\-zuy"x"' — zuxy"+zx'y"u"—zx'u"Y"'-i-zy'x"u" — zy'ù'x" ) '' 

 = 2u'2a:'Ty»2z=— 2îi'22c5(2j>^)^— SM'2y'(Sjr2)=— 2:M'2s=(2xj)'~2a:=2j^(2ur;)=— 2:ï=22'(2r(j-)'— 2_y>2s»(; j 

 4- 2 2 M' 'S.xy 'Xxz Tyz + 2 2x^ XuyH uz'^yz + 2 '5^' "zux Z«z "S-xz + 2 2z» Sitar '^uy 2xy 

 + (5!ux)= {'Sy^y + (2ry)= (2a:z)= + (SHj)=(2a;_y)= — a 1.ux 'Exy'^yz "Xzu — 2 luy'SyzIzxlxU^- 1 Tnj'%yx^xz^zu. 



On peut les regarder comme les trois premières d'une suite de for- 

 mules construites d'après une même loi facile à saisir. Leurs seconds 

 membres sont des expressions qui se présentent dans diverses recher- 

 clies d'analyse ; par exemple elles entrent dans les dénominateurs des 

 erreurs moyennes à craindre sur les valeurs des élémens déterminés par 

 un grand nombre d'observations , en employant la méthode des moindres 

 carrés des erreurs , c'est-à-dire , d'après ce que M. Laplace vient d'éta-- 

 blir (^voy. l'addition à la Connaissance des tems , de i8i5), la mé- 

 thode qui rend un minimum l'erreur moyenne à craindre sur chaque 

 élément; c'est même la raison qui fait qu'elles entrent dans les formules 

 des axes cozijugués , parce qu'on y rend aussi minimum, nua somme de i 



carrés d'expressions linéaires. I 



Lorsqu'on multiplie 2« par l.h , par te, etc., on trouve aisémenï» 

 que 



20^=: 2a 25 — 2aè, 



laè'c" = 2a 24 2c — 2a Ibc — 26 2ac — 2c 2aJ + 1 y abc _, 

 •Zab'c"d"= -Zar-Tb 2c Zrf -- 2a 2i 2«rf — 2a 2e 2td — j:a^dj.bc — 2S"2c Tad - yb'j:d7:ac — 2e J.dy.ab 



Jr^^a'Zbcd+ilb'S.cda + ^Icl.dab + 'i'S.dlabc-i- 2 ab 2crf + 2ac2tà+ 2 ai 1bc—61abcd-^ 

 etc- 



Nous remarquerons en passant, que si on pose a = a'", a' =z p?-, 

 a" = y<-, etc.; 6 = «''', h' = (i'-', b^'^yj', etc. ; c = «»■", c' = (S'"', elc, 

 il résulte de ces dernières 



Sa'-/J'-' = Sa-- Sa»-' — Sa'"+'-', 

 Sa'' /S'-' y'-" =2«'- 2a''' Sa''" — S«''Z«'""*-'-"— SV 2«''+''" — Stt''''Sa'-+''' + aSa^+^'-^T^J; 

 %i''fr' Y" ^'" = 2a'' Sa''' 2»''" S*""'" — Sa'' S«''' S«''"+'^"' — etc. , 

 etc. 



formulés dont On se sert dans la théorie dès équations. 



Considérons d'abord 2 {jz' — zj')\ Développant chaque carré de celte 

 somme , on a 



