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cédehs, on trouvera toujours dans le polygone au moins quatre côtés, dont 

 chacun sera adjacent à deux angles, qui varieront en sens contraire. 



Un angle solide quelconque , pouvant être représenté par le polygone 

 spherique que l'on obtient en coupant cette angle solide par une sphère 

 décrite de son sommet comme centre avec un rayon arbitraire , on voit 

 qu'il suffit de substituer dans ies théorèmes précédeus les noms d'angles 

 solides, d'angles plans et d'inclinaisons sur les arêtes, à ceux de poly- 

 gones sphériques de côtes et d'angles , pour obtenir autant de théorèmes 

 sur les angles solides. Le dernier peut s'énoncer de la manière suivante. 



6°. Si, dans un angle solide dont les angles plans sont invariables, on 

 fait varier les inclinaisons sur les différentes arêtes , on trouvera toujours 

 au moins quatre angles plans, dont chacun sera compris entre deux 

 arêtes sur lesquelles les inclinaisons varieront en sens contraire. 



A l'aide de ce dernier théorème et de celui d'Euler, M. Cauchy dé- 

 montre comme il suit la proposition d'Euclide , qu'il énonce ainsi : 



Dans un polyèdre convexe, dont toutes les faces sont invariables, les 

 angles compris entre les faces, ou, ce qui revient au même, les inclinai- 

 sons sur les différentes arêtes sont aussi invariables ; en sorte qu'avec les 

 mêmes faces on ne peut construire qu'un second polyèdre convexe symé- 

 trique du premier. 



Démonstration, En effet, supposons, contre l'énoncé ci-dessus^ que l'on 

 puisse faire varier les inclinaisons des faces adjacentes sans détruire le 

 polyèdre ; et, pour simplifier eacore la question, supposons d'abord que 

 l'on puisse faire varier toutes les inclinaisons à-la-fois , les inclinaisons sur 

 certaines arêtes varieront en plus , les inclinaisons sur d'autres arêtes varie- 

 ront en moins; et, parmi les angles plans qui composent les faces et les 

 angles solides du polyèdre , il s'en trouvera nécessairement plusieurs qui 

 seront compris chacun entre deux arêtes, sur lesquelles les inclinaisons 

 varieront en sens contraire. C'est le nombre de ces angles plans qu'il s'agit 

 de déterminer. 



Soient S le nombre des angles solides du polyèdre , 

 H le nombre de ses faces , 

 A le nombre de ses arêtes. 



On aura , par le théorème d'Euler , S -f- H = A •+- 2,ou^ — H = 



5—2. 



Soient de plus , aie nombre des triangles, b le nombre des quadrila- 

 tères , c celui des pentagones , d celui des hexagones , e celui des hepta- 

 gones, etc.... , qui composent la surface du polyèdze. On aura 



H = a-}-6 + c + a'4- e -+-, etc. 

 2 A = 5a -+■ 4& + 5c + 6d-i- 7e -j- , etc. 

 et par suite, 4 (A — &) == 2a "f" 4* "t" 6 e + 8^ + 1 oe •+■ , etc. . . . 

 Cela posé , si l'on considère les angles plans compris dans la surface du 



