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polyèdre, comme formant par leur réunion les angles solides , on trou- 

 vera que chacun des angles solides, en vertu du théorème 6, doit fournir 

 au moins quatre angles plans, dont chacun soit compris entre deux arêtes, 

 sur lesquelles les inclinaisons varient en sens contraire. La surface totale du 

 polyèdre devra donc fournir un nombre d'angles plans de cette espèce au 

 moins égal à ^S. Reste à savoir si cela est possible. 



Or, si l'on considère les angles plans comme composant les faces du 

 polyèdre, on trouvera que les faces triangulaires, contenant toujours 

 au moins deux arêtes, sur lesquelles les variations d'inclinaison sont 

 de même signe, fourniront au plus chacune deux angles plans qui satis- 

 feront à la condition donnée. Les quadrilatères pourront fournir chacun 

 quatre de ces angles plansj mais les pentagones , se trouvant dans le même 

 cas que les triangles, n'en fourniront chacun que quatre au plus, comme 

 les quadrilatères. En continuant de même, on ferait voir que les hexagones 

 et les heptagones ne pourront fournir chacun plus de six angles plans de 

 cette espèce ; que les octogones et les ennéagones n'en pourront fournir 

 chacun plus de huit, et ainsi de suite. Il suit de là que toutes les faces du 

 polyèdre réunies ne pourront fournir ensemble plus de ces angles plans , 

 qu'il n'y a d'unités dans la somme faite de trois fois le nombre des triangles, 

 de quatre fois celui des quadrilatères , de quatre fois celui des pentagones , 

 de six fois celui des hexagones , etc.... , ou dans 



aa -\- \b -\~ 4c + 6d -f- 6e -H , etc 



Mais , si l'on compare ce résultat à la valeur de ^{A — H) , trouvée plus 

 haut, il sera facile de voir que la somme dont il s'agit ici est plus petite 

 que4(^' — #)> ou 4 (£ — 2), ou encore ^{S — 8). 11 est donc impossible 

 que le polyèdre total fournisse un nombre au moins égal à 4^ d'angles qui 

 satisfassent à la condition donnée. On ne peut donc changer à^-la-fois les 

 inclinaisons sur toutes les arêtes. 



Si l'on suppose en second lieu que, sans changer les faces du polyèdre, 

 on puisse faire varier les inclinaisons sur les différentes arêtes , à l'exception 

 des inclinaisons sur les arêtes comprises entre plusieurs faces adjacentes 

 et renfermées dans un certain contour ; alors, pour ramener la question 

 au cas précédent , il suffira d'observer que le théorème d'Euler subsis- 

 tera encore , si l'on considère toutes les faces dont il s'agit comme n'en 

 formant qu'une seule ; et par conséquent défaire abstraction dans les 

 calculs précédens des arêtes sur lesquelles les inclinaisons ne varient 

 pas, et des sommets où elles se réunissent. 



On prouverait de même que l'on ne peut considérer le polyèdre comme 

 composé de plusieurs parties , dont les unes seraient invariables et les autres 

 variables. 



Celte démonstration est copiée littéralement dans le mémoire dont je 

 rends compte , et que l'auteur a bien youlu me confier. P. 



