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Fermât , que Je centre el le rayon de cette sphère peuvent se cons- 

 truire par la règle et le compas. C'est le but qu'on s'est proposé d'at- 

 teindre dans la note suivante. 



Soient A\ B, C, D, (Jîg. ,4> PI- 2), les centres des quatre sphères données; 

 en les joignant par des droites , on formera une pyramide triangulaire 

 dans laquelle tout sera connu; j'employerai dans le calcul suivant les trois 

 arêtes DA , DB , DC , les angles ADC , BBC , et l'angle compris entre 

 les plans de ces deux angles, données qui suffisent pour déterminer la 

 pyramide ABCD. J'appelle C l'angle des deux faces ADC et BDC ; 

 soit de plus 



DA=a, DB = b, DC = c, ang. ADC = u , ang. BDC = 0. 



Pour fixer les idées , je suppose que le centre de la sphère demandée 

 tombe dans l'intérieur de la pyramide ABCD, et que ce centre soit le 

 point O. Joignons ce point aux sommets A,B, C,D, et soient 



DO = r, ang. ADO = ce , ang. BDO = y. , ang. CDO == z ; 



la distance du point O au point D , étant appelée r , les distances 

 du même point O aux points A , B ,C seront égales à l'inconnue r, 

 augmentée ou diminuée de quantités connues , qui dépendront des dif- 

 férences entre les rayons des sphères données ; on pourra donc supposer 



AO = r + g, BO = r + h, CO—r+h; 



g , h et k désignant des quantités données dans chaque cas particulier. 

 Enfin , le plan des deux lignes OD el CD coupe l'angle dièdre C , 

 en deux parties inconnues que je représenterai par p et q , p étant la 

 partie comprise entre ce plan et la face ADC , et par conséquent q , 

 l'angle compris entre ce même plan ODC et la face BDC. Nous au- 

 rons C = p-{- q , et , d'après une formule facile à démontrer , 



sin 2 .C = cos 2 .;p + cos\<7 — 2. cos./?. cos. 9. cos. C (i) 



Cela posé , le triangle COD donne 



( r + k y — r 1 + c a — ■ 2 rc. cos. s.; 



d'où l'on tire 



c 1 — k 1 — 2 kr 

 cos. .s = '•> (2) 



2cr 



on aura de même 



b 1 — -h* — 2 hr a 1 — g* — 2 gr 



cos./ = - ' — ? cos.x =3 — 



2ar 



