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de diamètres conjugués représenteront en direction tous les systèmes 

 de tangentes conjuguées. 



M. Dupin nomme cette courbe l'indicatrice, parce qu'en effet il 

 prouve qu'elle indique par sa nature le sens des deux courbures prin- 

 cipales de la surface, en chacun de ses points. 



III. Les deux axes de l'indicatrice ou les tangentes conjuguées res- 

 tangulaires , sont tangentes aux lignes de plus grande et de moindre 

 courbure. 



IV Pour un même point d'une surface donnée , le rayon de cour- 

 bure de chaque section normale est proportionnel au quarré du dia- 

 mètre de l'indicatrice qui se trouve dans le plan de cette section ; d'où 

 il suit que selon que l'indicatrice est une ellipse ou une hyperbole , la 

 somme ou la différence des rayons de courbure des sections qui ré- 

 pondent à deux tangentes conjuguées , est une quantité constante, égale 

 à la somme ou à la différence des deux rayons principaux. L'un de 

 ces deux rayons devient infini , et la courbure disparaît dans un sens , 

 lorsque l'indicatrice se change en une parabole ; ce qui arrive , par 

 exemple , en tous les points des surfaces développables. 



Dans le second et troisième mémoires , M. Dupin applique l'analyse 

 aux questions qu'il a traitées dans le premier, et par ce moyen il 

 développe et complète les démonstrations de plusieurs des proposi- 

 tions précédentes. 11 forme l'équation de l'indicatrice pour un point 

 quelconque d'une surface donnée ; quand cette courbe est une el- 

 lipse, les deux courbures de la surface au point que l'on considère 

 sont tournées dans le même sens ; elles sont tournées en sens opposés 

 lorsque l'indicatrice est une hyperbole. De celte manière , l'examen des 

 diverses inflexions que la surface peut éprouver par rapport au sens 

 de ses courbures , se trouve ramené à la discussion fort simple des 

 courbes du second degré. 



Dans le cas de l'indicatrice hyperbolique , l'angle des asymptotes fait 

 connaître le rapport des deux courbures principales. Il est droit et 

 l'indicatrice est une hyperbole équilalère , en tous les points de la surface 

 dont l'aire est un minimum entre des limites données ; car on sait que 

 celte surface jouit de la propriété d'avoir eu chacun de ses points ses 

 deux rayons de courbure principaux , égaux et dirigés en sens contraires. 

 On sait aussi que si une surface du second degré peut être engendrée par 

 une ligne droite, elle est susceptible d'une seconde génération sem- 

 blable, et qu'il y a toujours deux génératrices qui se croisent en- -chaque 

 point. Or , M. Dupin prouve que ces deux droites sont les deux asymp- 

 totes de l'indicatrice ; d'où il conclut que sur un hyperboloïde à une 

 nappe , et sur un paraboloïde hyperbolique , les directions de la plus 

 grande et de la moindre courbure en un point quelconque partagent 



