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MATHÉMATIQUE S< 



De la Relation entre les trois diamètres principaux rectan- 

 gulaires d'une surface du second degré ', et les trois diamètres 

 conjugués de cette surface , déterminés par les angles que 

 ces diamètres Jont entre eux. Lu à la Société philo m atique } 

 le 27 mars 181 3 ; par M. Hachette. 



Soc. Philomat. L'équation de la surface du second degré rapportée à trois diamètres 

 Mars 181 3. conjugués, est de Ja forme: 



Xx' + t'y' + L"z* = H'. 

 Nommant zf, 2 g, 2 h les longueurs des diamètres conjugués , pa- 

 rallèles aux axes obliques des oc , des y 3 des z , celle équation devient : 



(0 **A'*» + *yy +/&** =f'g'h\ 



Concevons une sphère du rayon R , concentrique à la surface du second 

 degré et tangente à cette surface en un point (x 1 , y', z'). La distance 

 tiu centre de la sphère au point de contact , est : 



VV'+y-f- *' a + 21'/ tos(/, g) -\~2.y'z' cos (g-, A) -f 2. z'x' cos ( h , f) J 

 d'où il suit que l'équation de la sphère rapportée aux axes obliques , est : 

 (2) *' + y* + z* + 2. xy cos (/, g ) + zyz cos {g, A) + 2. zx cos ( A ,/) = R\ 



Par le point (&', y' , z' ) commun à la sphère et à la surface du 

 second degré , menons des plans tangens à ces surfaces , les équations 

 de ces plans seront {Essai de Géométrie analytique de Biot, 5 e . édil. , 

 pag. 53g), i°. pour la sphère: 



r xj*'+.y cos (/,*) + *' cos (A,/) M 



(3) \ -hy{y' + *'™s(f,g)-{-z'cos(g,h)} \=zR*i 



l+z \z' + j'eos (g, A) + ar'cos (A,/)} ) 

 2°. Pour la surface du second degré : 



(4) g^xx' + h'fyf + pg'zz' =f*g'h\ 



Supposons maintenant que le point (x ! , y', z' ) soit l'extrémité de 

 l'uu des trois, diamètres principaux rectangulaires, les plans tangens 

 menés par ce point coïncideront , et les équations (5) et (4) seront 

 identiques. Egalant les coefliciens des a:, y., z dans ces dtux équa- 

 tions , on aura : 



x' + y' c° s (/. g) + g cos C ; ' •/) _ x ' 



rT r ' 



f -fa^cos (A g) + z'cos(g, h) _ y' 



. . R* g* ' 



x > -f- y ' co S (g, K) -f a:' cos (A,/) _ _^_ 

 " R- ~~ h' " 



