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Les équations du diamètre principal qui passe par le point (oc 1 \y ] , z 1 ) 

 étant : 



x x r y y' *' y' , 



les trois équations précédentes deviendront : 



(5) /Ms+4cos(/, g)+cos(k,f)\=fr<p, 



( 6 ) r i4 + ? cos (/, ^ ) + cos (^, h)\ = ^4, 



(7) A" { 1 + 4 cos (S> A ) +<Pcos^A,/) jf = R'. 



D'où l'on tirera les valeurs de R 2 , cp , 4 > quantités qui déterminent 

 la longueur des trois diamètres principaux rectangulaires, et la direction 

 de ces diamètres, par rapport aux trois diamètres conjugués/, g, h. 

 Eliminant ç et 4 » ou obiient l'équation : 



ÎR S 

 -KHf' + e' + fr) 

 + R' {yy sin* (/, g) + 3* sih» (g,h)+h]p sin' ( X , /) } 

 — /V A M «— c ° s *(/;#)— cos a (é',/')— ros'CA,/)— 2cos(/,#)cos(g,A)cos(A,/) } J 



Cette équation a pour racines les demi-diamètres principaux rectan- 

 gulaires. En nommant â, 6, e ces demi-diamètres, elle sera équiva- 

 lente à celle-ci : 



(9) H 6 — .R4 ( a» + £' -f- c» ) -f iî 1 ( a* 5' -(- 3'c' -f c'a' ) — o'iv = o. 



Concevons deux parallélipipèdes construits l'un sur les trois demi- 

 diamètres rectangulaires a, b, c, l'autre sur les trois demi-diamètres 

 conjugués /', g, h, l'identité des équations (8) et (g) établit les rela- 

 tions suivantes entre ces diamètres : 



1°. La somme des carrés des trois diamètres principaux est égale à 

 la somme des carrés de trois diamètres quelconques conjugués entre eux. 



2°. La somme des carrés des faces des deux parallélipipèdes es£ 

 constante ; 



5°. Les volumes des deux parallélipipèdes sont égaux. 



La première et la troisième relations étaient connues. M. Binet , après 

 avoir obtenu l'équation (8) (voyez un Mémoire lu à l'Institut, le 20 mai 

 ï8ii), avait déduit, de cette équation, la seconde relation. 



Eliminant R % et <p , ou R 1 et 4 , au moyen des équations (5) , (6) , (7), 

 on parviendrait à une équation du troisième degré, dont les racines 

 seraient les valeurs des quantités <ç et 4 » qui fixent la position des 

 axes rectangulaires , par rapport aux demi -diamètres conjugués/, g, h. 

 Ou trouverait , par une méthode semblable , la relation qui existe entre 

 les diamètres principaux rectangulaires d'une surface du second degré , 

 et les coefficiens constans de l'équation générale de cette surface. (Voye^ 

 ?r* îa Correspondance sur l'Ecole polyteehnique , tom. 3, 5 e . cahier.) 



