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Solution d'un -problème de Géométrie; par M. Olivier , élève 

 de l'Ecole Polytechnique. 



So<- «iilomat. M. Hachette a communiqué à la Société philomntique , une solution 

 synthétique de ce problème : Trois circonférences quelconques de grands 

 ou petils cercles, étant tracées sur la sur/ace d'une sphère , trouver 

 une quatrième circonférence tangente aux trois premières? Ce problème, 

 dont M. Carnot a donné une solution analytique dans sa Géométrie 

 de position, pag. 4'5, avait été proposé aux élèves de l'Ecole poly- 

 lecnique : M. Olivier l'a résolu, en menant, par un point donné, un 

 plan tangent à un cône oblique à base circulaire. Les trois cercles 

 étant donnés , M. Olivier fait passer par ces cercles pris deux à deux , 

 trois cônes obliques {voyez Supplément de la Géométrie descriptive , par 

 M. Hachette, pag. 55), et il ne considère d'abord que les trois cônes 

 dont les sommets sont au-delà des plans des cercles. Il remarque que 

 le plan tangent à deux de ces cônes , est nécessairement tangent au 

 troisième , et qu'il coupe la spbère suivant un quatrième cercle langent 

 aux trois cercles donnés. Ayant donc déterminé le premier cône , et 

 le sommet du second, ou mène par ce sommet deux plans tangens 

 an premier cône , et chacun de ces plans contient un des cercles cher- 

 chés ; ces deux plans se coupent suivant une droite qui contient les 

 sommets des trois cônes. 



Les sommets des cônes obliques qui joignent trois cercles d'une sphère 

 deux à deux, sont distribués sur quatre droites, situées dans un même 

 plan. Par chacune de ces droites , on peut mener deux plans tangens 

 à l'un quelconque des trois cônes qui ont leurs sommets sur celte droite ; 

 d'où il suit que trois cercles d'une sphère peuvent , en général , être 

 touchés par un quatrième cercle de cette sphère , de huit manières 

 différentes. 



Étant données trois courbes planes d'une surface du second degré , 

 on détermine, par des considérations semblables, la quatrième courbe 

 plane qui les touche. Eu effet, il est évident que lorsque deux surfaces 

 du second degré se coupent, la courbe d'intersection est , en général, 

 composée de deux branches , et si l'une de ces branches est plane, l'autre 

 branche l'est nécessairement. D'uù il suit que par deux courbes planes 

 quelconques d'une surface du second degré , on peut toujours mener 

 une surface conique du second degré. Ayant déterminé les sommets 

 des cônes qui passent par les trois courbes planes données , on achève 

 la solution comme pour les sphères , en menant des plans tangens à 

 ces cônes. HG. 



