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u exprime la profondeur verticale d'un point du solide, ou sa distance 1820, 



à la surface. La température initiale de la tranche solide dont la pro- 

 fondeur est u est donnée, et l'on représente cette température par Fu. 

 La fonction F est entièrement arbitraire, et peut être discontinue. La 

 substance dont le solide est formé est supposée connue, c'est-à-dire 

 que l'on a mesuré 1°. la densité d, 2". la capacité de chaleur c, *" 

 3°. la conducibilité propre k, ou la facilité avec laquelle la chaleur 

 passe d'une molécule solide intérieure à une autre; 4°- 1^ conducibilité 

 extérieure h, ou la facilité avec laquelle la chaleur passe d'une molé- 

 cule delà surface' dans le vide. Ces trois coefficients c, k, h sont spé- 

 cifiques, comme celui qui mesure la densité; ils règlent dans toutes 

 les substances l'action de la chaleur : on en a donné les définitions 

 exactes dans les Mémoires précédents , et l'on a fait connaître divers 

 moyens de les mesurer. 



Cela posé, le solide ayant son état initial, on commence à compter 

 le temps écoulé pendant que la chaleur du solide se dissipe progressi- 

 vement dans le vide à travers la surface. Après un certain temps t, la 

 tranche dont la profondeur est u, et qui avait la température initiale Fit 

 a une température actuelle v qui varie avec le temps t et avec la pro- 

 fondeur uj la question consiste à trouver cette fonction 2^ de m et de t, 

 qui exprime, pour chaque instant, l'état variable du solide, pendant la 

 durée infinie du refroidissement. Cette question exigeait une nouvelle 

 méthode d'analyse, dont on a donné les premières applications en 1807 ; 

 elle est complètement résolue par la formule suivante : 



00 3 '>' 00 



■i /»dpe~^Trd(h . , ,, , ^V/5 • ^ ^ f^' 77 d ,A 



v=— f -^ jY — X~SAn.(j]u)-\-pcQ%.{pu)\.sda.^\a.{pa.)l Fa — — l xy, 



( I ) o ^' "*■ "Â^ o 



La fonction Fx étant connue, on intègre d'abord par rapport à l'indé- 

 terminée X, entre les limites a; = o et a; = — Le résultat de cette inté- 



o . 



gration est une fonction de p. On intègre ensuite, par rapport à l'indé- 

 terminée p, entre les limites ;? = o et /? = — . Le résultat de cette inté- 

 gration ne contient plus p, en sorte que l'on obtient pour j une fonction 

 de M et ;f et des constantes d, c , k, h. L'analyse dont on déduit cette 

 solution ne consiste pas seulement à exprimer les intégrales par la 

 somme de plusieurs termes exponentiels. Cet usage de valeurs particu- 

 lières était connu depuis l'origine du calcul des difFérences partielles. 

 La méthode dont nous parlons consiste surtout à déterminer les fonc- 

 tions arbitraires sous les signes d'intégrale définie; en sorte que le ré- 

 sultat de l'intégration soit une fonction quelconque qui est donnée, et 

 qui peut être discontinue. 



