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vement deux nombres a el b, et si les deux résultais A et Ï3 de ces 1820, 



substitutions ont des signes différents, lequation X = o a au moins 

 une racine réelle comprise entre les limites a et b. Le nombre des racines 

 réelles comprises entre ces mêmes limites pourrait être i, ou 2, ou 5, ou 

 un nombre impair quelconque. Si au contraire les deux résultats A et B 

 ont le même signe, l'équation peut avoir un nombre pair de racines 

 réelles entre les limites a et b, et il peut arriver aussi qu'il n'y ait aucune 

 racine entre ces mêmes nombres. Il suit de ces propositions, qui sont 

 démontrées dans tous les traités élémentaires d'algèbre, que la substi- 

 tution des deux nombres proposés a et è dans la l'onction X ne S'unit 

 point pour faire connaître combien l'équation a de racines comprises 

 entre ces deux nombres. 



Pour résoudre cette dernière question, il est nécessaire de sub- 

 stituer ces deux limites a ei b dans la fonction X et dans les Ibnclious 

 X', X", X'", X'^, etc., que l'on en déduit par des diff'érenliations 

 successives. 



L'objet de cette note est d'exposer la méthode que l'on doit suivre 

 pour déterminer les limites des racines , en substituant ainsi divers 

 nombres dans les fonctions difïerentielles, et d'ajouter à cette méthode 

 une règle spéciale pour distinguer facilement les racines imaginaires. 



Supposons donc que l'on considère les fonctions suivanies X, —7— X, 

 —, — X, —r-T X, etc., et qu'on les écrive toutes dans l'ordre inverse, 



. . . X'^, X'", X", X', X, la dernière X étant le premier membre de la 

 proposée. Le nombi'e des fonctions écrites est m -\~ i , si le degré 

 de l'équation est m, et la première fonction est un nombre constant 

 positif. 



Si l'on substitue un nombre a dans la suite des fonctions, et si l'un 

 écrit le signe +, ou le signe — de chaque résultat, on formera une 

 suite de signes que nous désignerons par («^3 substituant aussi un nombre 

 b plus grand que a, dans la même suite des fonctions, et remarquant 

 les signes des résultats, on formera une seconde suite de signes, que 

 nous désignerons par (/3). Cela posé, on examinera combien dans la 

 première suite de signes (a) il y a de changements de signe, en passant 

 d'un terme à un autre, c'est-à-dire combien de fois dans cette suite il 



arrive que deux signes voisins sont -| ou \-. On examinera aussi 



combien il y a de ces changemens de signe dans la seconde suite (/S). 

 On comparera sons ce rapport les deux suites de signes («) et (/3), et 

 l'on déduira de cette comparaison les conséquences suivanies, que nous 

 allons d'abord énoncer, et dont nous donnerons ensuite la démonstration. 



1°. Si les deuxsuites désignes («) et (/3) ont un égal nombre de chan- 

 gements de signe, il est impossible que l'équation X = o ait aucune 



