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 racine entre les limites a et h, en sorte qu'il serait entièrement Inutile 

 de chercher des racines dans cet intervalle. 



a°. La seconde suite ne peut, dans aucun cas, avoir plus de chan- 

 gement de signe qu'il n'y eu a dans la première. 



5". Si dans la seconde suite il se trouve un seul changement de signe 

 de moins que dans la première , la proposée X= o a une racine réelle 

 comprise entre a et b, et il ne peut pas y avoir plus d'une racine dans 

 cet intervalle. Dans ce cas, la racine comprise entre a et Z> est entiè- 

 rement séparée de toutes les autres. Alors il est facile de procéder à 

 la recherche de cette racine, soit par la méthode exégélique de Viete, 

 ou par la règle des fractions continues de Fontaine et de Lagrange, 

 ou en faisant usage, comme Daniel Bernouilli et Euler, des séries 

 récurrentes, ou enfin, et par la voie la plus courte, en suivant la mé- 

 thode d'approximation de Newton, à laquelle il est nécessaire d'ajouter 

 les remarques que nous avons publiées dans ce recueil. En général, 

 l'emploi de toute méthode d'approximation suppose que la racine 

 cherchée est séparée de toutes les autres, c'est-à-dire que l'on connaît 

 deux limites a et ^; entre lesquelles la proposée ne peut avoir que cette 

 seule racine. 



4". Si dans la première suite on compte un plus grand nombre de 

 changements de signe que dans la seconde, et si l'excès du premier 

 nombre sur le second est 2 , l'équation X = o peut avoir deux racines 

 entre les deux limites a et b; il peut arriver aussi que ces deux racines 

 soient imaginaires. Le sens exact de cette dernière proposition est que 

 si l'on peut s'assurer, d'une manière quelconque, qu'il n'y a aucun 

 nombre compris entre a et b qui rende nulle la fonction X, il est cer- 

 tain que cette équation a au moins deux racines imaginaires. 



La différence des deux nombres de changements de signe dans les 

 suites («) et {&) étant supposée 2, il est nécessaire qu'il y ait deux 

 racines réelles dans l'intervalle de a à i, ou qu'il n'y en ait aucune 5 il 

 est impossible qu'il y en ait une seule. On doit donc , dans ce cas , cher- 

 cher deux racines entre les limites proposées 3 et si ces racines man- 

 quent dans cet intervalle , elles manquent aussi dans l'équation. 

 ''' 5°. Si dans la première suite (a;) on compte trois changements de 

 signe de plus que dans la seconde suite (B); il y a nécessairement une 

 racine réelle dans l'intervalle de ah.b; il ne peut pas y en avoir deux, 

 mais il peut y en avoir trois; et s'il n'y en a pas trois, les deux qui 

 manquent dans l'intervalle manquent aussi dans l'équation. 



En général , la proposée ne peut pas avoir dans l'intervalle des limites 

 a et è plus de racines qu'il y a d'unités dans l'excès du nombre des 

 changements de signe de la suite («) sur le nombre des changements de 

 signe*^ de la suite (&); nous désignons par/ oet excès, ou différence 



