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enh'e les deux uorabres de changemeuls de signe des deux suiles. Si lo2o. 



dans l'intervalle de a kb l'équation n'a pas un nombre de racines réelles 

 égal à y, celles qui manquent sont en nombre pair 2/3 elles corres- 

 pondent à un pareil nombre 21 de racines imaginaires qui manquent 

 dans l'équation proposée 3 ainsi le nombre des racines imaginaires de 

 l'équation est toujours égal au nombre des racines qui manquent dans 

 tous les intervalles. 



Il était nécessaire d'expliquer en ces termes la proposition générale 

 que nous voulons démontrer, pour laire connaître distinctement son 

 usage dans la recherche des limites des racines. On voit que cette régie 

 indique avec précision les intervalles dans lesquels on doit chercher les 

 racines, et le nombre des racines qu'il peut y avoir. En efîet, si le nom- 

 bre / est zéro, c'est-à-dire si dans la suite (ce), on ne compte pas plus 

 de changements de signe que dans la suite (B), l'intervalle des nombres 

 a et b est un de ceux dans lesquels on ne doit chercher aucune racine. 

 Une méthode d'approximation qui conduirait à diviser de pareils inter- 

 valles en moindres parties, dans la vue d'y découvrir quelques racines, 

 serait par cela même extrêmement imparfaite. C'est ce qui arrive lors- 

 qu'on procède à la séparation des racines, en substituant dans la pro- 

 posée une quantité moindre que la plus petite différence de ces racines. 



La proposition générale que l'on vient d'énoncer n'est autre chose 

 qu'une extension du théorème qui exprime la relation connue entre le 

 nombre des racines positives d'une équation , et le nombre des chan- 

 gements de signe que présente la suite des coefficients, et cette appli- 

 cation de la règle de Descartes se présente d'elle-même dans la re- 

 cherche des limites des racines. En effet, si l'on diminue d'une certaine 

 quantité positive a toutes les racines d'une équation, en substituant 

 x' + a au lieu de x , et si l'on remarque que l'équation en .z' n'a 

 plus dans la suite de ses coefficients autant de changements de signe 

 qu'il y en avait dans l'équation en x, cette différence indique combien 

 on doit chercher de racines dans l'intervalle de o à a; or, Is calcul de 

 la transformée en x est le même que celui de la substitution de a dans 

 les fonctions différentielles (*). Ce procédé est beaucoup plus sitnple 

 que celui de la méthode des cascades , d'ailleurs incomplète et 

 confuse. 



La proposition générale que nous avons rapportée peut être déduite 

 du théorème de Descartes; elle peut aussi être démontrée directement, 

 comme il suit, et alors ce théorème en devient une conséquence néces- 



(*) Algèbre latine de Haies, Dublin, 1784. 



Recherches de M. Budan; de l'Universilé de France, 

 Résolution des écjualions numéricpes de Lagrange. 



