(i6o) 



saire. Cette ciémonslratlon est celle qui a été donnée autrefois daus les 

 cours d'analyse de l'École Polytechnique: elle n'avait point encore été 

 imprimée. 



DÉMONSTRATION. 



T°. Si dans la suite (e) des fonctions . . . X'^, X."',X", X', X, on 

 substitue une quantité négative — a, et si le nombre a est infiniment 

 grand, tous les résultats de la substitution seront alternativement po- 

 sitifs et négatifs, en sorte que dans la suite (x) il ne se trouvera que des 

 changements de signe. Eu effet, l'équation X = o étant du degré m, 

 la première fonction de la suite est 1.2. 5... m; la seconde est 

 2 . 3 . 4 ■ • • mx j la troisième a pour premier terme 5 . 4 • • -™^' > ^^ 

 quatrième a pour premier terme /^ . . .mx^, ainsi de suite. Donc le nom- 

 bre substitué étant • — — , les signes des résultats sont -\ h ■ 1 ? 



o 

 etc. Il ne peut y avoir que des changements de signe dans la suite («), 

 le nombre de ces changements est m. 



2°. Si le nombre substitué a est H , tous les résultats out le signe 



o • 



-f , et il ne reste aucun changement de signe dans la suite («). 

 5". Si le nombre substitué a, qui est d'abord égal à , augmente 



par degrés infiniment petits, depuis jusqu'à + — , il deviendra 



successivement égal à chacune des racines réelles que peut avoir l'é- 

 quation X = o, et nous allons prouver que lorsque a deviendra égal à 

 une de ces racines, la suite (a) perdra un changement de pigne. 



En effet, le nombre a augmentant par degrés insensibles, la suite (x), 

 qui avait d'abord tous ses signes alternatifs, s'altère progressivement; 

 elle ne peut comaiencer à subir quelque changement , que si le nombre 

 substitué a fait évanouir une des fonctions . . . X'^, X'", X", X', X; 

 car aucune de ces quantités ne peut changer de signe si elle ne devient 

 d'abord nulle. Il se présente ici deux cas différents : le premier a lieu 

 lorsque la substitution du nombre a fait évanouir la dernière fonction X, 

 c'est-à-dire lorsque le nombre substitué est une des racines réelles de 

 l'équation; le second cas a lieu lorsque la substitution de a rend nulle 

 une des fonctions intermédiaires, telles que X''^, X'", X", X'. On 

 pourrait aussi supposer que le même nombre a fait évanouir à-la-fois 

 plusieurs de ces fonctions; mais nous ferons d'abord abstraction de ce 

 cas singulier, parce qu'il suppose entre les fonctions une certaine re- 

 lation qui n'a point lieu en général. 



