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Dans le premier cas, c'est-à-dire lorsque la valeur de X est la seule 1 fi 20. 



qui devienne nulle, le signe du dernier résultat dans la suite («) est 

 remplacé par o. ^i le résultat de la substitution de a dans la fonction 

 précédente X' est + , la suite (a:) est ainsi terminée +0. Conce- 

 vons maintenant que l'on substitue au lieu de a deux nombres infiniment 

 peu différents, l'un moindre que a, et l'autre plus grand que a, il est 

 facile de voir que la suite («) aura pris trois états successifs indiqués 

 par la' table suivante (i) : 



<,a + - 



a -f- o 



>a + -1- 



(0- 



c'est-à-dire que les deux derniers termes de la suite {x), donnée par la 

 substitution de a, étant par hypothèse -|- o, les deux derniers termes de 



ia suite qui répond à <^ a sont nécessairement H , et que les deux 



derniers termes de la suite qui répond à ^ a sont -f- 4"- Cette consé- 

 quence se prouve comme il suit : 



Désignant la fonction X par q:x, et X' ou — — X par ip'X, et w 



étant une quantité infiniment petite, on a <p (a — o) = «pa — c>) (b' a, 

 q> (a -\- ù)) = <p a + w <p' (a). Or, par hypothèse, ?> (a) est nulle, et (p' (a) 

 est positive. Donc la substitution du nombre <^a donne un résultat 

 négatif, savoir, — u q>' (a). Quant au nombre^a, il donne, par la 

 substitution, un résultat affecté du signe +, savoir -\- œ p' a. 



Donc la suite de signes (a) , en prenant les états successifs qui ré- 

 pondent à <[fl , a , ^ a, a perdu un changement de signe, la succession 

 -j étant devenue -f o et -|- -f . 



Il en sera de même si le résultat de la substitution de a dans X' donne 

 le signe — . En effet, la valeur ip' (a) est alors négative; donc ?> (a- — a) , 

 ou — ù>(p' (a), est une quantité positive, et (p{a + œ, ou unp' (a), est 

 une quantité négative: donc la table précédente (i) est remplacée par 

 la table (2) 



< a 1- 



a — -o 



>ci -~ 



(2). 



On voit par-là que la suite des signes («) a perdu un changement 

 de signe, lorsque le nombre substitué a passé par la valeur a, qui fait 

 évanouir la dernière fonction X. 



Il est donc démontré que la suite des signes (a) perd un changement 

 de signe toutes les fois que le nombre substitué devient égal à l'une 

 des racines réelles de la proposée. 



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