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4°. Si le nombre substitué a fait évanouir une des fonctions inter- 

 médiaires X^, X", X'", X", X', et non la dernière X, la suite (a) 

 conserve autant de changements de signe qu'elle en avait auparavant, 

 ou elle perd deux changements de signe à la fois. Il ne peut arriver 

 que l'un de ces deux cas. Voici la preuve de celte proposition. 



Considérons trois fonctions consécutives, savoir celle qui devient 

 nulle, celle qui précède, et celle qui suit. Supposons que les deux 

 premières donnent les résultats suivants, qui sont ceux de la table (i). 



<a + — 



a . , -f- o 



>ii + + 



Si la troisième fonction donne un résultat positif, ou formera la table 

 suivante (3) : 



<a + — + 



« + o + 



>a + + + 



(3). 



On en concluera que le nombre substitué étant devenu égal à a, et plus 

 grand quea, la suite (x) des signes a perdu deux changements de signe, 



savoir -\ et 1- , qui sont remplacés par + + et + +. 



Si au contraire la troisième fonction donne un résultat négatif, ou 

 aura la fable suivante (4) : 



<« + 



a -\- o — 



>a + + — 



C4)- 

 Dans ce cas, le nombre substitué passant par la valeur a, la suite (a) 

 des signes ne perd aucun changement de signe. 



On a supposé que les deux premières fonctions donnaient les résultats 

 indiqués dans la table (i). Si au contraire la première fonction a le 

 signe —, les résultats donnés par les deux premières fonctions seront 

 ceux de la table (2), savoir : 



>a - + 



a — o 



>« -- 



Dans ce cas la troisième fonction donnei-a le signe + ou le signe — 

 si sa valeur est positive, on aura la table suivante (5) : 



<a - + + 



a — o-f- 



> a ; - - + 



■ (5), 



