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en sorte que la suite (a) des signes n'aura perdu aucun changement 1820. 



de signe. 



Mais si la troisième fonction donne le signe — , on aura la table 

 suivante (6) : 



<ci _ + _ 



a — o — 



>« •• , 



(6). 

 ce qui prouve que la suite (a) des signes aura perdu deux changements 

 de signe. 



Ainsi le nombre a que l'on substitue dans la suite des fonctions, pre- 

 nant successivement toutes les valeurs possibles depuis a = jusqu'à 



c = -1 , la suite (x) des signes des résultats ne demeure pas la même; 



elle s'altère de la manière suivante. Tl ne peut y survenir de changement 

 que lorsque le nombre a fait évanouir une des fonctions. Si ce nombre 

 devient égal à une racine réelle de la proposée, la suite (x) perd un 

 changement de signe. Si la fonction qui s'évanouit n'est point la der- 

 nière X, mais une des fonctions intermédiaires, la suite (x) conserve 

 tous les changements de signe qu'elle avait aupai'avant, ou elle en 

 perd deux à ia fois. Par conséquent cette suite ne peut point acquérir 

 de nouveaux changements de signe à mesure que le nombres augmente, \ 



elle ne peut qu'en perdre , et c'est ainsi qu'elle passe progressivement 

 de son premier état, où l'on compte m changements de signe, à son 

 dernier état où. elle n'a plus aucun changement de signe. On déduit 

 de ces remarques les conséquences suivantes. 



Si la proposée X = o a toutes ses racines réelles en nombre m, il 

 arrive nécessairement un nombre m de fois qu'elle perd un seul chan- 

 gement de signe 3 et comme le nombre total des changements de signe 

 qu'elle peut perdre est7n, il s'ensuit que les valeurs de a qui font éva- 

 nouir une des fonctions intermédiaires, ne donnent lieu à aucune di- 

 minution de nombre des changements de signe. Ce nombre se conserve 

 lorsque la valeur de a rend nulle une des fonctions intermédiaires, et 

 il diminue d'une unité lorsque cette valeur de a rend nulle la dernière 

 fonction. 



Si la proposée a m — 2 racines réelles et deux racines imaginaires, 

 il arrive un nombre de fois égal km — a que la suite («) perd une 

 seule racine réelle, et par conséquent il arrive seulement une fois que, 

 la valeur de a faisant évanouir une fonction intei'médiaire , deux chan- 

 gements de signe disparaissent ensemble. 



En général, si la proposée a un nombre 771 — 21 de racines réelles, 

 et un nombre 21 de racines imaginaires, il est évident que m — 21, 



