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 changements de sigue , disparaissent un à un dans la suite («), et par 

 conséquent il arrive un nombre de fois égal k 21 que la valeur de a 

 faisant évanouir une fonction intermédiaire, deux changements de signe 

 disparaissent ensemble. 



Nous avons supposé jusqu'ici que le nombre substitué ne fait pas 

 évanouir en même temps deux ou plusieurs fonctions différentielles, mais 

 seulement une de ces fonctions. On pourrait se dispenser de considérer 

 les cas oii une même valeur a, substituée au lieu de x, rend nulles 

 plusieurs fonctions à la fois : car ces valeurs singulières du nombre sub- 

 stitué n'auraient plus la même propriété, si les coefficients de la proposée 

 subissaient un changement infiniment petit. Mais comme il s'agit ici des 

 principes élémentaires de l'analyse algébrique, il convient de démontrer 

 explicitement que le cas 011 plusieurs fonctions s'évanouissent ensemble, 

 est en effet compris dans celui où l'on suppose qu'une seule des fonc- 

 tions devient nulle , et il est facile de prouver cette dernière proposition , 

 comme on le veiTa dans la seconde partie de cette Note, qui sera insérée 

 dans le Eulleiin suivant. Nous terminerons celle-ci par l'exposé des 

 conséquences générales de la démonstration précédente. 



On en conclut immédiatement le théorème que nous allons énoncer, 

 et que nous regardons comme un des éléments principaux de l'analyse 

 des équations. 



Une équation du degré m , X = o étant proposée, si Vonjorme la suite 



X , X 'X , X , X , X , X, ^z/z com- 



prend toutes les fondions différentielles dérivées de IL, et si l'on sub- 

 stitue au lieu de x un nombre continuellement croissant a, qui reçoit 



toutes ses valeurs successives depuis jusqu'à -\ , on observe la 



relation suivante entre les racines réelles ou imaginaires de la pro- 

 posée, et les changements de signe que présente la suite des résultats 

 numériques des substitutions. 



Le nombre des changements de signe qui était m , diminue de plus en 

 plus, jusqu'à ce qu'il devienne nul, il ne peut jamais augmenter; autant 

 il arrive de fois que la suite perd un seul changement de signe , autant 

 l'équation a de racines réelles; et autant il arrive défais que la suite 

 perd deux changements de signe en même temps , autant l'équation a 

 de racines imaginaires. 



Ce théorème comprend , comme on le verra dans la seconde partie 

 de cette Note, les cas particuliers où pkisieurs fonctions s'évanouissent 

 en même temps. 



Les propositions énoncées ci-dessus dans les paragraphes 1°, 2°, 3°, 4", 

 page i58, sont des corollaires évidents de ce théorème. 11 en est de 

 même de la proposition générale qui termine le paragraphe 5". Si les 



