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chaque zëro intermédiaire le premier signe extrême qui est connu, ce 1820. 



qui donne à la seconde suite le moindre nombre possible de changemeuts 

 de signe. 



Il suit nécessairement de cette manière de former les deux suites, 

 1° que si le nombre de zéros intermédiaires est pair, la première suite 

 qui répond à <^a présente un nombre h de changements de signe plus 

 grand que le nombre k de changements de signe comptés dans la se- 

 conde , et que la différence h — k est un nombre pair. 2° Que si le nom- 

 bre de zéros intermédiaires est impair, le nombre h de changements de 

 signe de la première suite peut, dans un seul cas, êlre égal au nombre k 

 de changements de signe de la seconde, mais que, dans tous les autres, 

 h est plus grand que^, et que la différence h — k est encore un nombre 

 pair. 



Ainsi cette diffei'ence h — k ne peut être ni négative, ni un nombre 

 impair; il est nécessaire qu'elle soit un des nombres o, 2, 4> 6, etc. 



Mais si les fonctions différentielles consécutives qui s'évanouissent 



{)ar la substitution de a comprennent la dernière (px, on conclut faci- 

 ement des remarques précédentes, que le nombre h des changements 

 de signe de la première suite surpasse le nombre k de changements de 

 signe de la seconde, et que la différence h — k, qui alors peut être 

 un nombre pair ou impair, est toujours égale au nombre des fonctions 

 extrêmes qui s'évanouissent. Or l'équation proposée a dans ce cas, selon 

 le théorème de Huddes, autant de racines égales au nombre a qu'il se 

 trouve de ces fonctions extrêmes qui s'évanouissent; donc la suite («) 

 des signes perd dans ce cas autant de changements de signe que l'équa- 

 tion a de racines réelles égales au nombre a. 



Enfin on pourrait supposer que le nombre substitué a fait évanouir 

 plusieurs fonctions différentielles, ou intermédiaires, ou extrêmes, et 

 qu'il rend nulles en même temps d'autres fonctions dans différentes 

 parties de la même suite séparées les unes des antres par des fonctions 

 Bon évanouissantes : dans ce cas on connaîtrait le nombre total de chan- 

 gements de signe que la suite (a) a perdus, en ajoutant les divers ré- 

 sultats donnés par les règles précédentes. 



Ayant donc énuméré toutes les conséquences possibles de la substi- 

 tution d'un nombre croissant a, nous sommes parvenus à la démonstra- 

 tion du théorème général dont voici l'énoncé. 



(m) (m— i) " ' 



Si Von forme la suite des fonctions X , X , X , X , X, 



par la différentiation du premier membre de l'équation X = o, et si 

 ayant substitué dans ces fonctions un même nombre a, on remarque 



combien il y a de fois -f- — ou Y dans la suite des résultats des 



substitutions, le nombre des changements de signe de la suite sera 

 d'autant plus grand, que la valeur substituée a sera inoindre. 



Si l'vn donne au nombre a une valeur continuellement croissante 



