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 depuis une valeur négative très-grande A jusqu'à une valeur positii^e 

 très-grande B, on fera disparaître successii-'cment tous les changements 

 de signe de la suite des résultats. La suite perd un changement de 

 signe toutes les Jois que le nombre substitué devient égal à l'une des 

 racines réelles, en sorte que l'équation a autant de racines réelles , 

 égales ou inégales, que la suite perd de changements de signe par la 

 substitution des valeurs de a qui rendent nulles la dernière Jonction X. 

 La même équation a autant de racines imaginaires que la suite perd 

 de changements de signe par la substitution des valeurs de a qui ren- 

 dait nulles une ou plusieurs des Jonctions intermédiaires , et qui ne 

 rendent point nulle X, 



C'est à ce théorème que se rapporte la règle de Descarîes, et les 

 applications qu'on en a faites pour la recherche des limites des racines. 

 Il résulte évidemment de la démonstration précédente, qu'il ne peut y 

 avoir dans l'intervalle de deux limites quelconques a et è plus de ra- 

 cines que la suite perd de chani^ements de signe, lorsque le nombre 

 substitué passe de la valeur c à la valeur b; on connaît ainsi combien 

 qIu doit chercher de racines dans cet intervalle. Celles qui sont ainsi 

 indiquées dans l'intervalle de a à Z>, et qui ne s'y trouvent point, ne 

 peuvent être qu'en nombre pair j elles correspondent à autant de racines 

 imaginaires. Ainsi il y a de certains intervalles où les racines imagi- 

 naires rnanquent deu;c à deux, comme il y a des intervalles oîi lès 

 racines réelles subsistent. , 



' Il nous reste à donner une règle générale, pour distinguer facilement 

 les iu'tervalles oîi manquent les racines imaginaires de ceux où les 

 "Tacineà réelles subsistant. 



Nous nous bornerons présentement à l'énoncé de cette dernière règle, 

 qui résout une des difficultés principales de l'analyse des équations. 



Si l'équation X = o avait toutes ses racines réelles inégales, et que 

 l'on connût cette propriété, le théorème précédent, ou même la seule 

 application de la règle de Descartes suffirait pour séparer toutes les 

 racines, c'est-à-dire pour assigner à chacune d'elles deux limites entre 

 lesquelles elle serait seule comprise. En effet, on donnerait au nombre 

 substitué a différentes valeurs, telles que — loo, — lo, — i,o, i, lo. loo, 

 et l'on connaîtrait les intervalles dans lesquels on doit chercher les 

 racines, et le nombre des racines qui peuvent s'}^ trouver; on subdi- 

 viserait eusuitîe ces intervalles, et, pour le faire avec ordre, on psunait 

 suivre le procédé que nous allons décrire. 



Désignant para et b les deux limites d'un intervalle où l'on cherche 

 plusieurs racines, on comparera la suite a, des résultats de la substitu- 

 tion de a à la suite S> des résultats de la substitution de b\ écrivant sur 

 une ligne horizontale la première suite «, et procédant de la gauche à 

 la droite,, Qn marquera, au-dessus de chaque terme, combien la s.ujte 



