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contient àe chatigements de signe jusqu'à*fce terme, et y compris ce 1020. 



terme. Le nombre ainsi marqué, que nous désignons en général par h, 

 augmentera, ou du moins ne pourra pas diminuer, depuis le premier 

 terme de la suite jusqu'au dernier X, pour lequel il aura sa valeur 

 complète H. Ayant écrit au-dessous de la suite « la suite S du ré- 

 sultat de la substitution de Z>, on comptera pareillement dans cette 

 seconde suite B le nombre k des changements de signe, à partir du 

 premier terme à gauche jusqu'à un terme quelconque, et y compris 

 ce terme. Ainsi ce nombre k augmente, ou du moins ne peut pas 

 diminuer, lorsqu'on passe d'un terme à un autre vers la droite; les 

 premières valeurs de ^ et Ar sont o et o, et les dernières, qui corres- 

 pondent au terme X, sont H et K. On prendra aussi la difiérence des 

 deux nombres correspondants hetk, et l'on écrira chaque valeur de 

 celte différence S entre les deux termes qui répondent à h el k, la 

 première valeur de i" sera o, et la dernière H — K, ou A, les valeurs 

 successives de ces nombres h, k. S, et leurs valeurs complètes H, K, A, 

 se déterminent facilement à la seule inspertion des suites a. et B. 



Considérant la suite des nombres S, à partir du dernier à droite, qui 

 répond à X, et passant de la droite à la gauche, ou s'arrêtera au pre- 

 mier de ces nombres S que l'on trouvera être égal à l'unité. Désignant 



par p X la fonction qui répond à ce terme i de la suite i", on substi- 

 tuera au lieu de x dans cette fonction, et dans toutes celles qui la 

 suivent à droite, un nombre a compris entre a ei b limites de l'inter- 

 valle. Ce nombre intermédiaire a' doit être du même ordre décimal 

 que a et b, si cela est possible, ou il doit être de l'ordre immédiatement 



inférieur. Ayant fait ces substitutions de a' dans ?> ^ et dans toutes 

 les fonctions placées à la droite de celle-ci, on aura divisé l'intervalle 

 des deux limites en deux autres intervalles moindres, et si toutes les 

 racines de la proposée étaient réelles, on trouverait par ces subdivi- 

 sions, deux limites distinctes pour chacune des racines. 



Ni l'équation X = o peuf avoir des racines imaginaires, la subdi- 

 vision des intervalles ne suffit pas pour déterminer la nature des ra- 

 cines; mais on y parviendra au moyen de la règle suivante. 



Ayantdésigne la fonction (p x correspondante au ternie i, marqué comme 

 en l'a dit plus haut, dans la suite S, on examinera si dans cette suite S 

 ce terme 1 est précédé à gauche du terme o. Si cela n'a point lieu, on 

 procédera à la subdivision de l'intervalle , comme on le ferait si toutes les 

 racines étaient réelles j mais si ce terme j qui est nécessairement suivi de 2, 



est précédé de o, on écrira l'expression — tt , et j faisant x = a , 



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