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(— ') ,^ 



on trouvera la valeur —. , ce qui se réduit à prendre le quotient 



<p a 



de deux quantités déjà connues. Si ce quotient est moindre que la diffé- 



rence b — a des deux limites , on sera assuré quil manque deux racines 



dans l'intervalle de a à b; dans ce cas on retranchera 2 de chacun des 



,(■> — ') 

 ternies de la suite S, à partir de celui qui répond à <p (x) jusqu'au 



dernier terme à droite qui répond « X , e/ Von conservera les valeurs pré- 

 cédemment trouvées pour les termes de cette suite ^ qui sont à la gauche 



(n— i) 



de (p x; cela étant, on aura une nouvelle suite i pour ce même inter- 

 valle compris ektre a et b. On continuera donc l'application littérale de 

 la présente règle\et en opérant ainsi , on parviendra proniptement ^ et sans 

 aucune incertitude , à la séparation de toutes les racines. 



Nous n'examinbns point ici les cas singuliers où les fonctions dif- 

 férentielles ont deà facteurs communs, parce qu'ils se résolvent faci- 

 lement au moyen dés théorèmes connus sur les racines égales. 



(n-0, . 



Au lieu de substituer l'une des limites a dans l'expression -j-, , 



ç> X 

 on peut aussi substituer Fa plus grande limite b, et comparer le quo- 



tient H T-r à la difïerence b — a. Si ce quotient n'est pas moindre 



que b — a , on est assuré qu'il manque deux racines dans l'intervalle; 

 enfin on tirerait encore la même conclusion, si la somme des deux 



(p (a) 'P (b) ,, . . , , 



quotients rr et ■\ r^ n était pas moindre que b — a. 



a 'P (b) 



Ainsi foules les Jais que la différence b — a des deux limites n'est pas 

 plus grande que la somme des deux quotients , on est assuré que deux 

 racines manquent dans V inierualle , et qu elles correspondent à deux 

 racines imaginaires dans l'équation X = o. Au moyen de ce carac- 

 tère et de la subdivision des intervalles, on arrive nécessairement à 

 distinguer toutes les racines. C'est pour effectuer cette distinction , que 

 MM. Lagrange et Waring ont proposé autrefois d'employer l'équation 

 dont les racines sont les différences des racines de l'équation donnée , 

 et cette solution considérée en elle-même est exacte 3 mais dans le plus 

 grand nombre de cas, elle ne peut être d'aucun usage. Les difficultés 

 propres à cette dernière méthode sont trop connues pour qu'il soit 

 nécessaire de les rappeler; celle que nous venons d'exposer, conduit 

 immédiatement à la désignation des limites des racines. Nous pourrrions 



