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Des Propriétés géométriques de la projection adoptée pour la nou- 

 velle Carte de France ; par M. Puissant. 



1. Parmi les diff"éi'en(es projections usitées en géographie, il en est Mathématiques. 

 une, connue sous le nom de Projection modifiée de Flamsteed , à la- 

 quelle la Conunission royale des services publics, présidée par M. de 



LaPlace, adonné la préférence pour la réunion des levés topographiques 

 de la nouvelle carte de France. Dans cette projection , le méridien prin- 

 cipal, passant par l'observatoire royal de Paris, est développé en ligne 

 droite j mais tous les parallèles à î'équateur terrestre sont développés 

 suivant des cercles concentriques dont la courbure dépend de celle du 

 moyen parallèle décrit d'un rayon égal à la tangente du méridien ellipti- 

 que, comprise entre le 5o* grade de latitude et le prolongement de l'axe 

 de la terre. Telle est donc la propriété caractéristique et fondamentale 

 du canevas de la nouvelle carte de France, que les parties du méridien 

 principal et celles des parallèles, y conservent rigoureusement les rap- 

 ports qu'elles ont entre elles sur le sphéroïde terrestre. Les autres pro- 

 priétés géométriques, qui sont des corollaires de celle-ci, se découvrent 

 aisément par l'analyse suivante. 



2. Supposons d'abord qu'une courbe quelconque tracée sur le plan 

 de projection soit rapportée à des coordonnées polaires, et désignons en 

 conséquence par R le rayon d'un de ses points M, par 9 l'arc qui mesure 

 l'angle que ce rayon fait avec le méridien principal. Supposons en outre 

 un autre système d'axes rectangles X, Y ayant même origine que R, et 

 représentons par ds l'élément de cette même courbe; ou aura, comme 

 l'on sait, 



X = Rcos.O, Y=Rsin.9 

 (i) j5= = rfR' H- R'^9=. 



Soit maintenant ds, l'élément d'un parallèle sur le sphéroïde de ré- 

 volution, p son rayon de courbure, et dp son amplitude mesurée par 

 un arc de cercle dont le rayon est l'unité 3 on aura 



dsi = p dp. 

 Or sur la nouvelle carte de France les projections des parallèles étant 

 des cercles concentriques, et les mesures prises sur ces courbes étant les 

 mêmes que sur le globe terrestre, on exprimera analytiquement cette 

 propriété en faisant <^R=:o, etds = ds,; partant l'équation différen- 

 tielle (i) donne 



pdp = B.dQ, 

 puis, intégrant, il vient 



(2) _ ^;, = R9, ^ 



sans constante , puisque la longitude p comptée du méridien principal 

 est nulle en même temps que l'angle 9. 



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