//^ 



C i5i ) 



e + e 



~ . COS. X (/U, X) f (/M.) dût. djj^ 



tf(x—t\/—^) + f i^r^ i?v/— I 



1821. 



= .,| ^ j. 



Cela posé, l'équation (47) donnera 



(5i; ?> = ■ n , , , , ,, ,, ■,,■,,, ^ ^ 



2 



Si l'on égale entre elles les valeurs de <p tirées des formules (5o) et (5i), 

 et que l'on fasse en outi'e 



on trouvera 



(5a) /(.r + /l/-i) = 



I /* I / "^ \ » 



+ — -T-^ A"^* dt f e~'^ cps. (^"TT) /' (-3: + ^A:' «). </* 



le nombre k devant être réduit à zéro, après les intégrations. Cette 

 dernière formule peut être considérée comme servant à définir la 

 fonction y (j; + t\/ — i), lorsqu'on connaît la fonction y (x). 



La remarque que nous avons faite à l'égard de l'équation (22), se- 

 rait également applicable aux équations (i3) et (19). 



Post-scripium. Si l'on développe les seconds membres des équations 

 f i3) et (19) en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de t, 

 les coefficients de ces puissances ne renfermeront d'autres facteurs 

 variables que les fonctions (ri) et leurs dérivées. De plus, les séries 

 obtenues seront précisément celles que l'on déduirait par le théorème 

 de Maclaurin des équations aux différences partielles qu'il s'agit d'inté- 

 grer. Il semble résulter immédiatement de cette observation, que les 

 formules (i5) et (19) sont les intégrales générales de ces équations 

 aux diff"ërences partielles. Néanmoins, dans un nouveau Mémoire lu 

 à l'Académie des Sciences, j'ai fait voir qu'à un même développement 

 en série pouvaient correspondre plusieurs fonctions très-distinctes les 



