Sur le développement des fonctions en séries , et sur l'intégration 

 des équations di/fén-ulirllcs , ou aux différences partielles ^ 

 par M. Augustin Cauchy. 



Pour découvrir et démontrer les propriétés les plus remarquables des Matsematiqxjes. 



fonctions , on a souvent employé leur développement en séries, ou suites 



infinies, c'est-à-dire composées d'un nombre infini de termes; et, parmi Académie royale des 

 les géomètres, ceux même qui ne se sont pas résolus, suivant la méthode Sciences. 



de La Grange, à faire de ce développement la principale base du calcul Janvier 1^22. 

 infinitésimal, s'en sont du moins servis pour établir plusieurs théories 

 importantes; par exemple, pour déterminer le nombre des constantes 

 arbitraires, ou des fondions arbitraires que comportent les intégrales 

 générales des équations différentielles, ou aux différences partielles, pour 

 calculer ces intégrales, pour fixer les caractères auxquels on doit recon- 

 naître les solutions particulières, ou intégrales singulières, des équations 

 différentielles, etc. Toutefois, en remplaçant les fonctions par des séries, 

 on suppose implicitement qu'une fonction est complètement caractérisée 

 par un développement composé d'un nombre infini de termes, au moins 

 tant que ces termes obtiennent des valeurs finies. Par exemple , lorsqu'on 

 substitue à la fonction /(a?) la série de Maclaurin, et que l'on écrit en 

 conséquence 



(.) /H = /(o) 4- y/'(o) + -^/'(o) + etc.. 



on suppose qu'à un système donné de valeurs finies des quantités 



/(o),/'(o),/'(o), etc.. _ 

 correspond toujours une valeur unique de la fonction J^{sc). Considérons^ 

 pour fixer les idées, le cas le plus simple, celui où les quantités / (o) , 

 f' (o) . f" (o), etc.. s'évanouissent toutes à la fois. Dans cette hypolhè-e , 

 on devra, ce semble, conclure de l'équation (1) que la fonction /"(ic) 

 s'évanouit elle-même. Néanmoins cette conclusion peut n'être pas exacte. 

 En effet, si l'on prend 



1 



X' 



f{x)=e 

 on trouvera 



/'(o)=o./(o) = (o')./'(o) =0, etc.. 



11 en serait encore de même, si l'on supposait 



f{x)z=e 

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