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se réduire pour «;::= o. Par conséquent , si.celte fonction est connue pour 

 toutes les valeurs possibles de y, il semble que la valeur de z sera complè- 

 tement déterminée. Néanmoins il n'en est pas ainsi. Concevons en effet 

 que l'équation donnée soit la suivante : 



,fs Al_ — f I _' ^ ^'^ ' ds 



^^'^ dx ~[' '^ tr) dir y' dy ' 



et, désignons par <p{y) la fonction de y, à laquelle s doit se réduire par 

 X =. o. La valeur de z, déduite de l'équation (4) par le développement 

 en série , prendra la forme 



d^f{y) _ 



dy 



Tous les termes de la série précédente étant des fonctions déterminées des 

 variables (v et y, lorsque la fonction <p [y) est elle-même déterminée, il 

 semble en résulter qu'une seule valeur de z remplira la double condition 

 de vérifier l'équation aux différences partielles proposée, et de se réduire 

 à p [y) pour ce = o. Néanmoins il est facile de s'assurer que , si l'on satis- 

 fait aux deux conditions énoncées par une certaine valeur 



(6) « = x («'> y) ' 



on y satisfera encore en attribuant à .z la valeur plus générale 



(7) '2 4a3 , 



s = % (^» î/) + ca? e 



dans laquelle c désigne une constante arbitraire. 



Après avoir montré l'insuffisance des méthodes d'intégration fondées 

 sur le développement en séries, il me reste à dire en peu de mots ce 

 qu'on peut leur substituer. 



Pour déterminer le nombre des constantes arbitraires qiie comportent 

 les intégrales générales des équations différentielles entre deux ou plu- 

 sieurs variables, et pour démontrer l'existence de ces mêmes intégrales, 

 il suffit d'employer les méthodes que j'expose depuis plusieurs années 

 dans mes leçons à l'Ecole Polytechnique. Ces méthodes seront l'objet d'un 

 nouveau Mémoire. La détermination du nombre des constantes arbitraires, 

 en particulier, repose sur le théorème suivant. 



Si une fonction ^w {x) de la variable ac s'évanouit pour a? = 0, le rapport 

 de cette fonction à sa dérivée , savoir : 



zr' (as) ' 

 s'évanouira lui-même quand on fera décroître la variable x au-delà de 

 toute limite. 



J'ajouterai que la méthode dont je fais usage pour démontrer l'existence 



