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 des intégrales dans tous les cas possibles, sert en même temps à calculer, 

 avec telle approximation que l'on veut, les valeurs des intégrales particu- 

 lières correspondantes à des valeurs données des variables. 



Pour distinguer, relativement aux équations dillérentielles du premier 

 ordre, les intégrales singulières d'avec les intégrales particulières, il sufTit 

 d'appliquer la règle que j'ai fait connaître dans un Mémoire lu à l'Institut 

 le i3 mai 1816. D'après cette règle, que l'on démontre rigoureusement 

 sans le secours des séries, pour juger si une certaine valeur de y, par 

 exemple , 



est une intégrale particulière ou singulière de l'équation différentielle 



dy—f{x,y).dx, 

 on doit recourir, non pas à la fonction dérivée 



dy ' 

 mais à l'intégrale définie • 



dy 



h 



l'intégration étant effectuée par rapport à y seule, et à partir de y=.'^{pé\. 

 Suivant que celte intégration donnera pour résultat une quantité finie ou 

 infinie, 7/ = F (a?) sera une intégrale singulière ou une intégrale particu- 

 lière. Ainsi l'on peut affirmer que la valeur y ■=.x vérifie, comme intégrale 

 singulière, l'équation différentielle 



dy=\\^ {y — oc)\ dx; 



et, comme intégrale particulière, les deux suivantes ', 



dy = [i + {y — x]] dx, 



dy = [» + (y - ^) log. {y — ^)] dx, 



attendu qu'en effectuant les intégrations relatives à y, à partir de y =:r, 

 on trouve 



log. loe. — = — oc. 

 y — X " o 



Quant à l'intégration des équations aux différences partielles, il ne 

 semble pas possible, dans l'état actuel de l'analyse, d'assigner les carac- 



1822. 



