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Remarcj lies sur les intégrales des écjiiations aux différences par- 

 tie/les; par M. Poisson. 



Les Reqiarques suivantes sont extraites de plusieurs de mes Mémoires; Mathematiqtte». 

 elles sont relatives à la généralité des intégrales des équations linéaires aux 

 différences partielles. C'est un point sur lequel il importe de îie laisser 

 aucun doute, afin qu'il n'en reste non plus aucun sur les solutions des pro- 

 blèmes de physique ou de mécanique qui se déduisent de ces intégrales. 

 Pour fixer les idées, il ne sera question ici que des équalions à coefficients 

 constants; des remai'ques analogues pourront aisément s'appliquer aux 

 autres équations linéaires. 



Soit donc L •-= G une équation de cette espèce, d'un ordre qneirorique . 



et contenant aussi un nombre quelconque de variables i/idépendaules; 



désignons ces variables par *, x, y, etc., et par 9 li variable princi()ale; 



supposons que cette équation linéaire à coefficients constants, ne renrerme 



aucun terme indépendant de ç ou de ses différences partielles: on y pourra 



alors satislaire en préïiant 



tp-\-gx-\-hy +etc. 

 <p = A e J ■/ 



A, p, g, h, etc., étant des constantes indéterminées, et e désignant la 

 base des logarithmes népériens. Si l'on substitue cette valeur de <p dans 

 l'équation L — o, la consl;mte A restera arbitraire; une seule des autres 

 conslanles, p, par exemple, sera déterminée en fonction de 9, /i, etc.; 

 en sorte que', y compris le coefficient A, cette videur de ip renfermera un 

 nombre <le constantes arbitraires égala celui des variables indépendantes. 

 L'équation iqiii déterminera a?, sera d'un degré égal à l'indice de la plus 

 haute différence partielle relative à t qui soit contenise dans L = o; en 

 désignant ses racines par p, p' \ p\ etc., on pourra les employer suce -s- 

 sivemeiit dans la valeur de ç ; on pourra aussi changer arbitrairement les 

 quantités A, g, h, etc.. et prendre pour ?> la somme des valeurs particu- 

 lières qui résulteront de ces changements, ce qui donnera 



^ = 2Ae*^' + ^" + ^^ + ''" + 2Aa*'''+^"+^^ + ^'"; {a) 

 les caractéristiques S indiquant des sommes qui s'élendent à toutes les 

 valeurs, réelles ou imaginaires, de A, g, /i, etc. Non-seulement cette 

 expression satisfera à l'équation L = o, mais j'ai démontré rigoureuse- 

 ment (*) qu'elle en sera l'intégrale complète, développée en série d'expo- 

 nentielles, de manière que toute valeur de (Z>, qu'on aura trouvée p.ir un 

 moyen quelconque, et qui satisfera à l'équation L=:o, sera certainement 



(*) Bulletin de novembre 1817. 

 Livraison, de juin. ' 1 



