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qui répond à f =o, fût, par exemple. 



0:=^fx = ~e g ; 



pétant une constante posilive qise l'on fera infiniment petite, on nulle, 

 après avoir cfTectué l'intégration relative à ^ : dans ce cas, la valeur de p 

 qui répond à t :::^- o serait une qiianlilé nulle ponr tontes les valeurs de ;r, 

 excepté pour les valeurs de ac infiniment peu différentes de a, pour les- 

 quelles cette valeur de (p serait infinie. 



M. Caiichy, qui a élevé des doutes sur la généralité des intégrait s des 

 équations aux différences partielles, avait pris pour exemple l'équation : 



(h / I \ «iî'i^ 1 d? 



dt (^ yj dy- ~ y^ ~dy ' 



à laquelle on satisfait en prenant 



A — -+^- 

 > = — — e 4* , 



que ^'auteur regardait comme une valeur singulière de *. Mais si l'on fait 

 \/i-^y z=.x,, cette équation se change dans léquatiou (c), et la valeur 



A —-^ 

 donnée de (p devient ^ = = e 4t , laquelle est comprise, comme 



on vient de le voir, dans l'intégrale complète citée plus haut. 



Le même géomètre a aussi objet lé contre le développement des fonc- 

 tions en séries (*) ., qu'il peut exister des fonctions dont tous les coi ffi- 

 cients différentiels s'évanouissent à la fois pour une même valeur de la 



variable; que, par exemple, les dérivées de e ^ étant composées de 



1 

 — m 



termes de la forme ce e ^ , dans lesquels m est un exposant po- 



sitif, elles sont toutes nulles pour x:=o; or, X désignant une fonetion 

 quelconque de œ, et A, A', A', etc., représentant les valeurs de X, 

 dX fPX 

 —} — , -; — , etc., qui repondent à oc = o, on a 



X = A + œA'. + - A" -L ^^ A'" + etc., (f) 



quand aucun des coefficients A, A', A", etc., n'est infini; si donc il 



i 



était vrai que leurs valeurs, pour la fonction e ^ , fussent toutes 



{*) Analyse des travaux de l'Académie des Sciences, pendant l'auiu-e 1821, 



