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 point de vue, et de déduire ces valeurs d'une mélhode uniforme, qui 

 fûl propre à rendre raison des exceptions et dos difficullés qu'elles pré- 

 sentai : e'est principalement ce que je me suis proposé de faire dans ce 

 prtniier article. Les expressions qui représentent les sommes de ces sé- 

 ries en fonctions de l'angle variable, ne subsistent que pour des valeurs 

 de cet angle, comprises entre des limites déltrminées; ces fonctions ne 

 sont point égales idi.'nliqucment aux séries qu'cM("s cxprinvent ; et si elles 

 n'ont lieu , par exemple, que pour des valeurs positives de la variable, il 

 pourra arriver que la fonction correspondante a une série de sinus, con- 

 tienne des puissances paires de 1 angle, <l que la foncli(Ui qui répond à 

 xme série dt; cosinus, renfernu' des puissances impaires, sans que cela soit 

 absurde, puisqu'il ne sera pas permis d'échanger le sign(> de la variable 

 dans ces i xi)ressions. D. Bcrnoulli a donné un grand nonibre de ces résul- 

 tats, parmi lesquels il nous suffira de citer pour exemple cette équation : (*) 



1,1 I COS. 2 X COS. 3 r COS. 4 r 

 X' _a3 + -~-' = COS. X + —-— H + -—g— + etc. , 



dans laquelle tt représente le rapport de la circonférence au diamètre, et 

 qui a lieu pour toiitcs les valeurs de 03, comprises depuis a; zr: o jusqu a 

 ce -—■2~. ^jlais il est à remarquer que l'on fera toujours disjjaraître la f ingu- 

 lariié queprésenlent eeite équation et toutes les formules du même genre, 

 en Iraiisporlaut l'origine rie la variable au nnlieu de l'intervalle de ses 

 valeurs, pour lesquelles chaque équation subsiste; ainsi, en mettant dans 

 l'équ.ition précédente oa — - à la place de a;, elle aura lieu ensuite depuis 

 3? = — TT jusqu'à a; z= -L ~. t;t elle deviendra ' 



51-' j ' COS. 2 X COS. 3 .r COS. [^ jc 



13 4 '4 9 1^ 



équation dont le premier membre ne contient plus que des puissances 

 paires de £C. 



La question qui fait !'ol)jet du second article est l'inverse de celle que 

 j'ai traitée dans le premier : il s'agissait, dans celui-ci , d'exprimer une 

 série infinie de quantités périodiques par une fonction finie et connue; 

 dans l'article second , il s'agit, au contraire, de transformer une fonction 

 donnée en une série de sinus ou de cosinus qui puisse en représenter 

 les valeurs, pour toutes les valeurs réelles de la variable comprises dans 

 un intervalle déterminé. D. Bi-rnoulli a résolu cette/question , pour une 

 classe très-nombreuse de fonctions rationnelles et entières, et la formule 

 citée plus haut en offre un exemple particulier; mais la solulion de ce 

 problème, pour une fonction quelconque , continue ou discontinue, se 

 trouvait déjà dans les Mémoires de Lagrange sur la Théorie dti son, et 

 encore plus explicitement dans ses recherches subséquentes sti,r cl i/férents 



(*) Mémoires (le Péter si? our[i, année 1772. 



1822. 



