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 a lieu pour \os valeurs imaginaires de t» .• les inléf;ralcs sont prises depuis 

 a=: o jusqu'à a = ':0 , et depuis 0;'= — co jusqu'à a;' = + ce. C'est 

 une qu( stion que j'ai aussi examinée dans ce second article de mon Mé- 

 moire, el j'ai trouvé que ces formules ne sont pas généralement ap|>licabies 

 aux valeurs imaginaires des variables ; ainsi en supposant que ;7etr/ soient 

 des quantités réelles, et faisant x=Lp -j- q ^ — i dans la formule [ )réc é- 

 dente, elle ne représentera pas, en général, les valeurs de f[p + q \/ — 1 ); 

 et si l'on veut s'en convaincre par un exemple très-simple, il suffira de 

 prendre 



les intégrations relatives à a et ce' s'effectueront par les méthodes connues; 

 le résultat auquel elles conduiront coïncidera, il est vrai, avec la valeur 

 de f{p + q v/:^), pour toutes les valeurs de (/ plus petites que l'unité; 

 mais il n'en sera plus de même, lorsque q surpassera l'unilé, abstraction 

 faite du signe; et, dans ce cas, la double intégration conduira à un ré- 

 sultat entièrement indéterminé. 



Le troisième article est relatif à l'intégration des équations aux diffé- 

 rences jjartielles à deux termes, ou comprises sous cette forme : 

 d"z d'"z 



dy" dx" 



La méthode que j'ai suivie consiste à exprimer, par des intégrales définies, 

 les séries ordoiniées suivant les puissances de a; e» de y, qui représentent 

 l'intégrale complète de eetle équation. Dans le cas général où in et n sont 

 des nombres quelconques, ces intégrales sont doubles; mais on parvient 

 souvent à les réduire à des intégrales simples, et c est ce qui arrive, par 

 exemple , dans le cas particulier de l'équation 



dz d^z 



dy doc' 



relative à la théorie de la chaleur. Son intégrale sous forme finie peut être 

 exprimée sous deux formes différentes : l'une, qui ne contient qu'une 

 seule fonction arbitraire, et à laquelle on parvient en parlant de l'inté- 

 grale en série ordonnée suivant les puissances de y; et l'autre, qui ren- 

 ftrme deux fonctions arbitraires, et que l'on déduit de l'intégrale eu 

 série ordonnée par rapport à x. La première est l'intégrale connue 



I /* — *' _ 



z = —— Je F (x -{- 2 û; y/ y ) dcc , 



dans laquelle la fonction arbitraire Yx représente la valeur de z corres- 

 pondante à ^ = 0. La seconde n'avait pas encore été donnée; elle est 

 Ldvraison de septembre. i8 



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