( '62 ) _ 



royale des Sciences. Ne pouvant en offrir ici qu'une analyse très-courte, je 

 rappellerai d'abord quelques-uns des principes sur lesquels je m'appuie; 

 je citerai ensuite quelques formules i>énéra!es, que je choisirai de préfé- 

 rence parmi celles que j'ai données dans le Mémoire de i8i4, et dans 

 mes leçons au Collège de France. 



J'appelle intégrale définie singulière, une intégrale prise relativement 

 à une ou à plusieurs variables, entre des limites infiniment rapprochées de 

 certaines valeurs particulières attribuées à ces mêmes variables, savoir, de. 

 valeurs infiniment grandes, ou de valeurs par lesquelles la fonction sous 



le signe / devient infinie ou indéterminée. Ces sortes d'intégrales ne sont 



pas nécessairement nulles, et peuvent obtenir des valeurs finies ou même 

 infinies. Supposons, par exemple, que la fonction y(a>) devienne infinie 

 pour x = x^. Désignons par k un nombre infiniment petit, pacf^ la vraie 

 valeur du produit Â-f (x^ -j- ,{) , correspondante à une valeur nulle de A-, 

 el par a' , oc" deux constantes positives. L'intégrale singulière 



(i) j f{oo)dx 



X, -f- A «' 

 sera équivalente à l'expression 



et par conséquent elle dépendra, i" de la racine a;„ de l'équation — ^ =o, 

 2° de la constante arbitraire — p-. Ajoutons que les deux intégrales 



J f{x)dcc, J f{x)dcc 



a'„ -j- A" »' X, — /. a ' 



seront égales et de signes contraires, à moins que, pour des valeurs dé- 

 croissantes de k, les deux produits kf{x„ -\- k) , — kf[x, — k) ne 

 convergent vers deux limites différentes. 

 Considérons maintenant l'intégrale double 



(3) JJf{x,y)dxdy, 



et supposons d'abord , que', la fonction f{x, y) devenant infinie ou in- 

 déterminée, quel que soit x, pour y :=¥ (x) , les intégrations relatives 

 à y et à X doivent être effectuées, la première entre les limites 



y = F.{x)-\-kQ', y=^Y{x)+kC", 

 k désignant un nombre infiniment petit, et £', €" deux fonctions posi- 



