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tives mais arbitraires de «; la seconde entre les limites constantes 1022. 



x = ia', xz=:oo". 

 Si l'on nomme y'^ la vraie valeur du produit A;/ (a? „, "F [oc) 4- Â), corres- 



pondante k k =^ o y la valeur de l'intégrale singulière proposée sera 



(4) Jf. 



Cette intégrale dépendra donc non-seulement de la fonction déterminée 

 de ce, que nous avons représentée par F {se) , mais encore de la fonction 



é" 

 arbitraire — r-. 



é' 



Supposons enfin que la fonction f{x, y) comprise dans l'intégrale (3) 

 devienne infinie pour un système isolé de valeurs de ce et de y, repré- 

 sentées par £c„, y^, et que cliaque intégration doive être effectuée entre des 

 limites constantes ou variables, mais très-rapprochées de ces valeurs; 

 alors, en posant xz=x„ + r cos. p, 2/ = 2/» + 'J'sin. p, on transformera 

 l'intégrale (3) en cette autre 



f I fipo ■•" *'cos. p, 2/„ + r sin. jo). rdrdp, 



dans laquelle l'intégration relative à ••. sera la seule dont les deux limites 

 restent infiniment voisines. Si ces limites sont de la forme Ap', kp"; p', p" 

 désignant deux fonctions positives de p, et si, de plus, on appelle /i, la 

 vraie valeur du produit k f (cc„ + k coc. p, y^ + k sin. p) , correspondante 

 3^ = 0, l'intégrale (3) deviendra 



(5) ff,{i-) 



. dp. 



Elle dépendra donc de la fonction arbitraire — p— . Dans un grand nom- 



bre de questions qui se résolvent à l'aide des intégrales singulières , la 

 fonction f„ est de la forme 



a COS. ' p -{- ■iù COS. p sin. p -\- c sin. ' p ' 

 a, b, c, h désignant des quantités constantes. Alors, en attribuant k p' , p" 

 des valeurs constantes, et supposant l'intégrale (5) prise entre les limitei 

 p zz=.o, p = ay, on trouve cette intégrale équivalente au produit 



qu'on obtient en multipliant 2hl I — j— j par la surface de l'ellipse qui a 



pour équation 



ax^ -f 2{/xy -f cy'' ::= i. 



