COORDENADAS BIPOLARES 159 



Finalmente, si se trata de dos puntos simétricos con respecto á O, 

 combinando los dos resultados anteriores, se obtiene 



^1+2/2 = 1 



^2 + y y = 1- 



21. Curvas cíclicas. — Si una curva pasa por los iDuntos (O, 0), (1, 1) 

 es preciso que su ecuación no contenga término independiente y que 

 la suma de los coeficientes sea igual á 1. En particular la ecuación 

 de un círculo será de la forma 



A¿c- + Bif -f Cxy -1- Dj? + E¿/ = O 



con la condición 



A + B-fC + D + E = 0. 



22. Curvas que pasan por los polos. — Si una curva pasa por A es 

 necesario que una recta cualquiera de la forma 



íj = a 



la encuentre en un punto para el cual x = ce . La condición necesa- 

 ria para que esto suceda es evidentemente la misma que la que ex- 

 presa en coordenadas"cartesianas que una curva admite una asíntola 

 paralela al eje de las x. 



Por consiguiente, igualando á O el coeficiente del término más ele- 

 vado en X en la ecuación de la curva, se obtendrá una ecuación en y, 

 cada una de cuyas raíces corresponderá á un paso de la curva por el 

 polo A. En otros términos, la curva pasará por A un número de veces 

 igual al grado de dicha ecuación en y. De manera que si A es un 

 punto ítP^° de una curva del wi°^° grado, el exponente más alto de x de- 

 berá ser íc™ — ■"•, 



En particular, siendo 



Ax'- 4- By- -\- Cxy -\- T>x -^ 'Ey -^ F = O 



la ecuación general de las cónicas ; cuando éstas pasen por A se ten- 

 drá 



A = 0; 

 cuando pasen por B 



B = 0. 



Por ejemplo, la ecuación de un círculo que pasa por los dos polos es 

 Cxy -j- D^ + Eí/ = O 



