COORDENADAS BIPOLARES 165 



Por consiguiente el lugar buscado es una recta II ' . La coordenada y 

 de la Intersección de esta recta con OA es dada por 



y — 1 de — 6 

 y de — d 



Luego, en virtud del número 4, el ángulo IPO debe ser igual á DOD ' . 

 2° El lugar del punto M, intersección de la tangente en A al circulo 

 POA con la tangente en A' al circulo POA ' . Para el círculo POA 



I = ^(^ -*' + ■' í = -(i--')-i; 



Por consiguiente, la tangente AM es 



{x — d) aCa — 1) — (y — a) d{d — 1) = 0. 

 Análogamente, la tangente A ' M es 



(* — €) A(A — 1) - (^ — A) e{e — 1) = 0. 

 Eliminando y entre estas ecuaciones, resulta 



[x — d) e{e — 1) = ix — e) d{d — 1). 



X no depende de a ; luego el lugar de M es una recta que pasa por O. 

 Vamos á probar que la recta OM coincide con la simétrica OM ' de 

 PO con respecto á la bisectriz OE de AOA ' . En efecto, hagamos 



POA = e, POA' = 0, P0E = ^ = ^^^t_^. 



Tendremos evidentemente 



POM ' == O) = Oi + 6, 

 y llamando 2; á la coordenada de un punto de OM ' 



^ — 1 o- o-/^ , ^ V {d — 1) (e — 1) 



de 



1 _ d -y e — \ 

 z de 



29. Propiedades focales de la parábola. — La ecuación de una cóni- 

 ca que i3asa por A y B puede ponerse bajo la forma (n° 22) 



xy + M.r + X^ + P =^ 0. 



