COORDENADAS BIPOLARES 169 



La distancia SO es, pues (n° 10) 



(propiedad cuya demostración directa se encuentra en los tratados 

 elementales de geometría). 



Siendo (y., [3) las coordenadas de N, la paralela trazada por este 

 punto á AB, es 



X — y "= OL — P 



y la intersección E. de estas rectas con 



X -{- y = 1 



a — P + 1 



\ ' 2 



^ I ÍS — a + 1 



' y o = — 2 



Sea co A- y -\- ]) = ^ 



la cuerda focal MN ; la paralela W trazada á ésta por R será 



(P + 2yJ;» — {2) + x^)y + iX^o — *ü) = ^^ 



Ahora bien, toda recta que pasa por P (considerada como perte- 

 neciente á AB y a W) deberá tener el mismo coeficiente cartesiano 

 (n° 19). Por consiguiente la ecuación de SP será 



Ó 



(i> + P. — a -f 1)^; — (JJ + a — ¡S + l)y + 



(i> + g - 3 +1) (3¿ — 1) (j^ 4- 3 - g + 1) (3 — i) __ ^. 



"^ 2(¿ + 1) 



La intersección de esta recta con MísT tiene por coordenadas 



¿(; = P — i í/ -.= a -f ¿ 



las que satisfacen evidentemente la ecuación de la curva. Luego el 

 teorema está demostrado. 



Pasaremos ahora á ocuparnos de algunos puntos un poco menos 

 elementales para los cuales nos parecen especialmente apropiadas 

 las coordenadas cíclicas. 



