390 Wilibald Reichardt. (p.18) 
In jedem solehen Systeme von 720 Operationen, die, von Vorzeichenünderungen 
abgesehen, in den 720 Permutationen der x, bestehen, sind insbesondere 
48 Transformationen enthalten, die das Fundamentaltetraeder (12) (34) (56) 
in sich überführen. Es sind dies diejenigen 6.8 Operationen, die durch 
Combination der folgenden beiden Gruppen von Substitutionen erhalten werden: 
I. derjenigen sechs Operationen, die, abgesehen von Vorzeichenwechseln 
der x,, in einer Permutation der drei Paare (12), (34), (56) bestehen; 
II. derjenigen acht Operationen, die im Wesentlichen Permutationen 
der Elemente innerhalb jedes einzelnen dieser drei Paare sind. 
Von dem ersten Fundamentaltetraeder kann man zu allen Fundamental- 
tetraedern übergehen vermöge derjenigen fünfzehn Operationen, die im Wesent- 
lichen in den drei Vertauschungen 
| Xi, Xe, X3, X4, X6 
bil; SER EEE SINE X1, X3, Xi, zi 
Xi, X4, X3, X5, X6 
und denjenigen zwölf weiteren Permutationen bestehen, die aus den hin- 
geschriebenen drei Operationen dureh Vertauschung von x; mit x, x», xs 
oder x, hervorgehen. Durch Combination dieser 15 Operationen mit den vor- 
her erwähnten 48 Substitutionen können alle 15 X 48 = 720 Operationen, 
von denen oben die Rede war, erzielt werden. 
Für die Theorie der Borchardt’schen Moduln (vergl. § 3) ist die 
Bemerkung von Interesse*), dass die quaternüre Gruppe homogener Substitu- 
tionen der Punktcoordination yı, yo, ys, ys, welche der senären Gruppe der- 
jenigen 16. 720 Operationen (13), die Collineationen bedeuten, entspricht, mit 
dieser nieht holoedrisch, sondern nur hemiedrisch isomorph ist, so dass also 
diese quaternüre Gruppe aus 2.16.720 Operationen besteht (von 
denen sich allerdings je zwei nur durch einen simultanen Zeichenwechsel der 
vier Punkteoordinaten unterscheiden) Aus den 16.720 Operationen (13), die 
Collineationen bedeuten, kann man die 16 . 720 in (13) enthaltenen 
Substitutionen, die dualistische Umformungen repräsentiren, ge- 
8 
winnen, indem man jede der ersteren mit der Substitution verbindet 
(€) E (ii N Xg! — — Xg, 
oder in Tetraedereoordinaten 
[C] vi + ys, Vy == + yes Ng ch ys Va vk yi: 
*) Ueber den Beweis vergl. Sitzungsber. der Ges. der Wiss. zu Leipzig, 1885. 
